《高等数学》电子课件（自编教材）02第九章第2节二重积分的计算.ppt

* * 定积分换元法 *三、二重积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , * 因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, * 例14. 计算 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 * 例15. 求 其中 解: 令 , 则域 D 的原像为 * 例16. 试计算椭球体 解: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. * 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 * 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 * 例8. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 * 解 例14 * 极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角 则 特别, 对 坐标系中的方法。 设： * 内容小结 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 * 则 极坐标系情形: 若积分区域为 * (2) 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 （两边夹，一线穿） * 练习与思考题 解： * * * 2、计算 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, * 3、计算二重积分 其中D为 解: 利用极坐标. * * 4、 已知两个球的半径分别为 和 的球心在大球的球面上， 立直角坐标系：故有 ，于是 且小球 解：以两球心所在直线为 轴，以大球球心为原点建 试求小球在大球内的那一部 分的体积。 * * 第二节 二重积分的计算 一、利用直角坐标系计算二重积分 二、利用极坐标系计算二重积分 三、二重积分的换元法 四、内容总结 * 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 一、利用直角坐标系计算二重积分 直角坐标系下的计算公式2 D * 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. 直角坐标系下的计算公式 ［X－型］ * 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 * * 如果积分区域为： ［Y－型］ * X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. * y 1 0 1 2 例1. 计算 其中D是直线 , 及 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 * 解 积分区域如图 * 例3. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 将 * 解 积分区域如图 * 解 原式 * 解 * 解 * 解 * * 二、利用极坐标系计算二重积分 * 极坐标系下 * 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 * 区域特征如图 * 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 * 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 * 解 * 解 * 解 * * * 解 * 解 * 解 * * 例2 改变积分 的次序. 原式. 例4 改变积分的次序. 原式. 例5 改变积分 的次序. = 例6 求，其中是由抛物线和所围平面闭区域. 两曲线的交点 求，其中D是以 为顶点的三角形. 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 例8 计算积分 . 不能用初等函数表示 先改变积分次序. 原式 例1 写出积分的极坐标二次积分形式，其中积分区域 . 例2 计算，其中D 是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域. 在极坐标系下 例3 求广义积分. 显然有 又 同理 故当时, 即, 所求广义积分 . 例4 计算，其 D为由圆 ，及直线， 所围成的平面闭区域. 例5 计算二重积分 , 其中积分区域为. 由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：被积函数也要有对称性. 根据对称性有