《高等数学》电子课件（自编教材）04第九章第4节 重积分的应用.ppt

G 为引力常数 四、物体的引力 设物体占有空间区域 ?, 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 在?上积分即得各引力分量: 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 例4. 求半径 R 的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 点 为球的质量 * 几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、 对质点的引力 （注意审题，熟悉相关物理知识） 三、小结 * 练习与思考题 薄片关于 轴对称 解答： * * 2、求由平面 所围成的柱体被平面 及旋转抛物面 截得的立体的体积V . x+ y =1 D y x O 1 1 解: x z x+ y=1 6 y D * 3、计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 出的面积 A . * * 4、设一圆柱体由柱面 解：画出圆柱体所占区域 的图形， 注意到圆柱体是均匀的，且具有对称性计算其转动惯量 在柱面坐标中. * * 5、计算 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 * 二、三重积分的应用 三、小结 * １．曲顶柱体的体积 * 例1. 求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围立体的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为: * * (二)、曲面的面积 卫星 * １．设曲面的方程为： 如图， * 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： 所以当曲面的方程为： * ３．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ２．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 * 解 * * 解 解方程组 得两曲面的交线为圆周 在 平面上的投影域为 * * (三)、平面薄片的质心 设在 平面上有n个质点，它们分别位于点 ， …… 处，质量分别为 …， 由力学知识知道该质点系的质心坐标 为 ， 其中 为该质点系的总质量 为该质点系对y轴的静矩。 为该质点系对x轴的静矩。 * 当薄片是均匀的，质心称为形心. 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ， 在 上连续，则该薄片 的质心： * 例1. 求位于两圆 和 薄片的重心. 解： 利用对称性可知 而 C。 之间均匀 * (四)、平面薄片的转动惯量 * 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ， 在 上连续，则该薄片 的对坐标轴的转到惯量： * 解 * * 解 * * 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 (五)、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ， 在 上连续，求该薄片 对位于z轴上的点 （0,0,a）处单位质量的质点的引力。 * 解 由积分区域的对称性知 * 所求引力为 * 1. 立体体积 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 二、三重积分的应用 * 例1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 说明: 当 时, 就得到球的体积 * 设物体占有空间区域 ? , 有连续密度函数 则其重心坐标为: 当 常数 时, 则得形心坐标： 物体的体积 2. 物体的重心 * 例2. 一个炼钢炉为旋转体形，它的 曲面方程为 若炉内储有高为 h 的均质钢液，且不计 炉体的自重，试求它的重心。 解：利用对称性可知重心在 z 轴上，故 h 则钢液体积 * 曲面方程为 钢液体积 * 3.物体的转动惯量 设物体占有空间区域? ,有连续分布的密度函数 类似于讨论物体重心的方法, 先用“大化小,常代变”得到 质点系对 z 轴 的转动惯量近似值: 令 ,就得到物体对 z 轴 的转动惯量 类似可得: * 例3. 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设所占域为 则 用球坐标 问题：如何用截面法和柱面坐标系计算三重积分？