《高等数学》电子课件（自编教材）03第九章第3节 三重积分.ppt

* * * 解 例3 求球体 与锥体 公共部分的体积. * * 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 （计算时将三重积分化为三次积分） 三、小结 * （1） 柱面坐标的体积元素 （2） 球面坐标的体积元素 （3） 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 三、小结 * 练习与思考题 * * 例2: 计算 及抛物面 所围成的区域. 解法一:采用先对 积分,将 * 解法二;采用先对 积分,将 2、计算 及抛物面 所围成的区域. * * 积分,将 解法三;采用先对 2、计算 及抛物面 所围成的区域. * * 解法四: 若注意到变量 的取值介于两个常数 之间,且在 处用平行于坐标面 的平面去截 先二后一 2、计算 及抛物面 所围成的区域. * 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结 * 一、 三重积分的概念 采用 ? 引例：设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀 的物质， 密度函数为 求分布在 ? 内的物质的质量 M . 可得 “分割，近似，求和，取极限” * 定义: 设 存在 , 称为体积元素 若对 ? 作任意分割, 及任意取点 , 下列“乘积和式”的极限 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下也常写作 * 性质 中值定理: 设 在有界闭域 上连续, 使得 其中V为 的体积. 三重积分的性质与二重积分相似 , 例如 计算方法 则存在 一点 * 1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 如图， 在直角坐标系下 * 化三重积分为三次积分 * 其中?为三个坐标面及平面 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: * 解 * * 解 如图， * * * 解 * 原式 * 3、利用柱面坐标计算三重积分 规定： * 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． * 　　如图，柱面坐标系中的体积元素为 * 其中?为由柱面 例1. 计算三重积分 所围成半圆柱体. 解: 在柱面坐标系下 及平面 * 例2. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 * 解 知交线为 * * 解 所围成的立体如图， * 所围成立体的投影区域如图， * * * 4、利用球面坐标计算三重积分 * 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面． * 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， * 球面坐标系中的体积元素为 如图， * 例1. 计算三重积分 其中?为 解: 在球面坐标系下 所围立体. 锥面 与球面 *