《高等数学》电子课件（自编教材）第五章 第1节 定积分的概念.ppt

* 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 * 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 五、小结 * a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、问题的提出 * a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 求曲边梯形面积的步骤： * 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． * 1、分割 3、求和 4、取极限 * 上述两个问题的共性: 1、解决问题的方法步骤相同 : * 二、定积分的定义 定义 * 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 * 说明： * 定理1 定理2 三、存在定理 * 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四、定积分的几何意义 a b x y o y x o a b * * 例1 利用定义计算定积分 解 * * 原式 例2 将和式极限： 表示成定积分. * 六、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 * 练习与思考题 解答： 例 * * 2、用定积分表示下列极限: 解: 区间不同 取值不同 * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 曲边梯形由连续曲线 、 轴与两条直线、 所围成. 设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程. 设函数在上有界， 记， 如果不论对 在中任意插入 若干个分点 把区间分成个小区间， 各小区间的长度依次为 ，， 在各小区间上任取 一点（）， 作乘积 并作和， 怎样的分法， 也不论在小区间上 点怎样的取法， 只要当时， 和总趋于 确定的极限， 我们称这个极限为函数 在区间上的定积分， 积分值仅与被积函数及积分区间有关， （2）定义中区间的分法和 的取法是任意的. （3）当函数在区间上的定积分存在时， 而与积分变量的字母无关. 称在区间上可积. 当函数在区间上连续时， 设函数在区间上有界， 则在区间上可积. 且只有有限个间断点， 则在 区间上可积. 将等分，分点为， () 小区间的长度，() 取，() 1、 定积分性质中指出，若在上都可积，则或在上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？ 由或在上可积，不能断言在上都可积。 显然和在上可积，但在上都不可积。