高等数学 课件 第五章 定积分.pptx
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第五章定积分第3节定积分的换元积分法和分部积分法
解：例1已知求。
例2求。解：
一、第一类换元积分法例3求。解：例4求。解：
解：设，于是有例5求。换元必须换限
例6求。解：
解：设，于是有例7求。二、第二类换元积分法
三、分部积分法例8求。解：
例9求。解：
例10求。解：
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高等数学第五章定积分.doc
高 等 数 学 教 案
章节题目 第五章、定积分
§5-1 定积分概念与性质 课型 理论课
教学目的
1、理解定积分概念和几何意义。
2、了解定积分性质。
重 点
定积分概念
难 点
定积分概念
参考书目 《高等数学习题课讲义》同济大学应用数学系
教具
教学后记
教学 过 程
备注
（一）、复习上节内容
（二）、讲授
§5-1 定积分概念与性质
一、定积分举例：
曲边梯形面积
变速直线运动的路程
二、
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高等数学 课件 第五章 定积分及其应用.pptx
第五章定积分及其应用
5.1定积分的概念和性质案例引入5.1.1定积分的概念5.1.2定积分的几何意义5.1.3定积分的性质
小结5.1.1定积分的概念分割、近似、求和、求极限5.1.2定积分的几何意义5.1.2定积分的性质
第五章定积分及其应用
5.2变上限定积分和微积分基本公式案例引入5.2.1变上限定积分5.2.2微积分基本公式5.2.3定积分的性质
小结5.2.1变上限定积分原函数存在定理5.2.2微积分基本公式微积分基本公式
第五章定积分及其应用
5.3定积分的计算方法5.3.1定积分的直接积分法5.3.2定积分的换元积分法5.3.3定积分的分部积分法
小结5.3.1定积分的直接积分
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5.1定积分的概念高等数学第五章定积分及其应用93课件.pptx
§5.1定积分的概念课程类型：基础课授课对象：高职一年级学生授课教师：董艳《高等数学》第五章定积分及其应用
曲边梯形的面积1（1）分割
曲边梯形的面积1（2）取近似
（3）作和曲边梯形的面积1
（4）取极限曲边梯形的面积1
？曲边梯形的面积1
曲边梯形的面积1取极限
曲边梯形的面积1取极限
定积分的定义曲边梯形的面积1
定积分的定义曲边梯形的面积1
定积分的定义变速直线运动的路程2
定积分的定义变力所作的功3
定义：定积分的定义4并作和：
在小区间定积分的定义4记，如果不论对怎样分法，也不论上怎样的取法，只要当时，和S总趋于确定的常数，我们称这个常数为函数在区间上的定积分.记作，即并作和：
被
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高等数学第五章-定积分及自测题.doc
PAGE
PAGE 20
第五章 定积分
基本要求：
理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.
理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.
掌握牛顿——莱布尼兹公式.
掌握定积分的换元法和分布积分法.
理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法.
了解定积分的近似计算方法.
主要内容
定积分概念
定积分概念
定积分的近
似计算方法
定积分的换元法
定积分的性质
积分上限的函数及其导数
定积分的分部积分法
定积分的几何意义
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高等数学-第五章定积分习题课.ppt
注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注意。 错误在于将反常积分误认为定积分。 在应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分时，必须注意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续． 常见的错误做法： 【例19】. 解： 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 故 试证 使 分析: 要证 即 故作辅助函数 至少存在一点 【例20】 证明: 令 在 上连续, 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此 故所证等式成立 . 故由罗尔定理知 , 存在一点 思
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高等数学第五章_定积分总结讲解.doc
第五章 定积分
创新生技102班 张梦菲
2010015066
主要内容
Ⅰ. 定积分概念：
定积分定义：设在区间上有界，在中任意插入若干个分点
.把分成个小区间，小区间的长度记为，在上任意取一点，作，若 存在. 就称该极限为在上的定积分.
记为
当上述极限存在时，称在上可积.
若在上连续，则在上可积。
若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.
Ⅱ. 定积分的几何意义
定积分在几何上表示：由曲线，直线和以及轴所围图形面积的代数和 (轴上方的面积取
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高等数学第五章-不定积分.ppt
一、原函数与不定积分;定义1设函数y=f(x)在某区间上有定义，;(x3+C)?=3x2(C为任意常数)，;移项得;其中符号称为积分号，;例1求以下不定积分;解根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数C即可.;所以得;当x0时，;(2);根本积分表;;;例3求不定积分;例4求不定积分;性质1两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和，;性质1可推广到有限多个函数代数和的情况，;性质2被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外，;例5求不定积分;例6求;例7求;四、不定积分的几何意义;积分曲线族y=F(x)+C的特点是：;x;例8曲线上任一点的切线斜率等于该点处
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高等数学-第五章定积分习题课.ppt
第五章定积分习题课;1．定积分的定义：;3．可积的充分条件;⑤区间长：;⑩奇偶对称性：若在上连续，则;(1);三、定积分的计算方法;2．分部积分法：;2．无界函数的反常积分;五、典型例题;【例2】求定积分;【例3】设,求;【例4】设求;【例5】设为连续函数，求;【例6】设,求;【例7】求定积分;【例8】计算定积分;【例9】计算定积分;【例10】求定积分;【例11】设求;【例12】设在上有一阶导数，;【例13】求极限;【例14】若为可导函数，且;解：;【例15】设在上连续，且;由零点定理知方程在内至少有一根。;【例16】设;当时，;【例17】求反常积分;【例18】求积分;注：由于定积分与瑕积分的
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高等数学第五章定积分及其应用.ppt
第五章定积分及其应用
背景来源——面积的计算
我们可以用大大小小的矩形
！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积将图形不断填充，但闪烁局部永
远不可能恰好为矩形，这些“边
角余料”无外乎是右图所示的
“典型图形”〔必要时可旋转〕
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
5.1.1定积分的概念
h
矩形面积aha
h
梯形面积(ab)b
2a
1.曲边梯形的面积h
设曲边梯形是由连续曲线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)
及x轴，以及两直线xa,xbA?
所围成,求其面积A.
1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点
ax0x1x2xn1xnb
用直
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《高等数学》电子课件（同济第六版）第五章 第1节 定积分的概念与性质.ppt
* * * * * 六、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 * （注意估值性质、积分中值定理的应用） 4．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 3．定积分的性质 * * 思考题 * 思考题解答 例 * 练 习 题 * * * 练习题答案 * 练 习 题 * * 练习题答案 * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过
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《高等数学》电子课件（同济第六版）第五章 第2节 微积分基本公式.ppt
* * 练习题答案 * * 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 四、小结 * 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一、问题的提出 * 考察定积分 记 积分上限函数 二、积分上限函数及其导数 * 1、积分上限函数的性质 证 * 由积分中值定理得 * * * 例3 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. * 证 * * 证 令 * 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. * 定理 3（微积分基本公式） 证
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《高等数学》电子课件（同济第六版）第五章 第4节 反常积分.ppt
* 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结及作业 * 一、无穷限的广义积分 * * * 例2 计算广义积分 解 * 例3 计算广义积分 解 * 证 * 证 * * 二、无界函数的广义积分 * * 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分. * 例1 计算广义积分 解 * 证 * 例3 计算广义积分 解 故原广义积分发散. * 例4 计算广义积分 解 瑕点 * * * * * * 无界函数的广义积分（瑕积分） 无穷限的广义积分 （注意：不能忽略内部的瑕点） 三、小结 * * 思考题 积分 的瑕点是哪几点？ * 思考题解答 积分
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《高等数学基础》课件——第五章 不定积分（含课程思政元素）.pptx
主讲人：xxx第五章不定积分不定积分的概念5.1
牛顿、莱布尼茨—微积分之争
牛顿、莱布尼茨—微积分之争
牛顿、莱布尼茨—微积分之争牛顿为了解决物理问题，他无意中发明了微积分。没有公开发表而是将其保存在私人手稿中。根据历史资料，莱布尼兹也是独立发明微积分的，并没有参考过牛顿的工作。现代公认他们两个同时发明了微积分，均是微积分的创始人。虽然牛顿和莱布尼兹在微积分的发现上存在争议，但他们的贡献为科学和工程领域的发展作出了重要贡献。微积分成为了数学中一个重要的分支，解决了许多实际问题。
引例原函数的概念不定积分的几何意义不定积分的概念
引例Part011
一、引例位移函数瞬时速度求导？总成本求导？问
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《高等数学》电子课件（自编教材）第五章 第5节广义积分.ppt
* 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 四、小结 三、Γ函数的介绍 * 一、无穷限的广义积分 * * * 例2 计算广义积分 解 * 例3 计算广义积分 解 * 证 * 证 * * 二、无界函数的广义积分 * * 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分. * 例1 计算广义积分 解 * 证 * 例3 计算广义积分 解 故原广义积分发散. * 例4 计算广义积分 解 瑕点 * * * * * * 三、Γ函数介绍 Γ函数： 特点： （1）积分区间为无穷。 （2）当s-10时，被积函数在x=o的右邻域内无界。 （1）Γ函数在s0时收敛，且连续、可导。 Γ函数的性质：
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《高等数学》电子课件（自编教材）第五章 第1节 定积分的概念.ppt
* 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 * 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 五、小结 * a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、问题的提出 * a b x y o a b x y o 用矩形面积近似