高等数学-第五章定积分习题课.ppt

注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注意。 错误在于将反常积分误认为定积分。 在应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分时，必须注意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续． 常见的错误做法： 【例19】. 解： 且由方程 确定 y 是 x 的函数 , 求 方程两端对 x 求导, 得 令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得 故 试证 使 分析: 要证 即 故作辅助函数 至少存在一点 【例20】 证明: 令 在 上连续, 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此 故所证等式成立 . 故由罗尔定理知 , 存在一点 思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 如果能, 怎样设辅助函数? 要证: 提示: 设辅助函数 证: 令 则 令 得 故 【例21】证明 作业 P270 10(3)(4); 11; 13 * * * 典型 P241 例5.8 * 典型 P249 例6.4 本周调课通知 周五 3、4、5 调至 周三10、11、12 A408 第五章 定积分习题课 1．定积分的定义： 2．定积分的几何意义： 用图表示: 一、定积分的概念与性质 曲边梯形的面积 (2)近似: ;(3)求和;(4)取极限 定积分定义的四要素：(1)分割: ; 3．可积的充分条件 ① 若 在区间 上连续，则 在 上可积. ② 若 在区间 上有界，且只有限个间断点， 则 在 上可积. 4．定积分的性质 ①反号性： ②与积分变量无关性： ③线性性质： ④区间可加性: ⑤区间长： ⑥保号性：如果在区间 上, ，则 ⑦单调性：如果在区间 上, 则 ⑧估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值，则 ⑩奇偶对称性：若 在 上连续，则 二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式 1．积分上限函数： 是奇函数 是偶函数 0， 设函数 在区间 上连续，则称 ⑨定积分中值定理：如果函数 在闭区间 上连续, 则至少存在一点 ,使下式成立： (定积分与积分变量记法无关) (1) (2) (3) 3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数 为连续函数 在区间 上的一个原函数，则 2．积分上限函数的微分 三、定积分的计算方法 求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数 ,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即 1．换元积分法 （1）凑微分法： （2）变量置换法：函数 满足条件： 2．分部积分法： 四、反常积分 1．无穷限的反常积分 2．无界函数的反常积分 设 为 的瑕点, 则 设 为 的瑕点,则 设 为 的瑕点，则有 五、典型例题 解： 由于 在 上连续, 且 是 在 上的一个原函数，故 【例1】设 在 上有连续导数，且 是 在 上的一个原函数, , 求 【例2】求定积分 解： 注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将 其去掉，并且要特别注意被积函数的符号． 【例3】设 , 求 解: 【例4】设 求 分析：利用变量代换将 在 上的定积分 化为 在 上的定积分再计算。 解:设 ,则 【例5】设 为连续函数，求 解: 令 , 则 ,当 时,