高等数学第五章-定积分及自测题.doc

PAGE PAGE 20 第五章 定积分 基本要求： 理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 掌握牛顿——莱布尼兹公式. 掌握定积分的换元法和分布积分法. 理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 了解定积分的近似计算方法. 主要内容 定积分概念 定积分概念 定积分的近 似计算方法 定积分的换元法 定积分的性质 积分上限的函数及其导数 定积分的分部积分法 定积分的几何意义(物理意义) 利用对称区间的积 分性质计算定积分 牛顿——莱布尼兹公式 反常积分的审敛性 无穷限的反常积分计算 无界函数的反常积分计算 反常积分(广义积分) 利用周期性计算定积分 Ⅰ. 定积分概念： 定积分定义：设在区间上有界，在中任意插入若干个分点 .把分成个小区间，小区间的长度记为，在上任意取一点，作，若 存在. 就称该极限为在上的定积分. 记为 当上述极限存在时，称在上可积. 若在上连续，则在上可积。 若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分在几何上表示：由曲线，直线和以及轴所围图形面积的代数和 (轴上方的面积取正，轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 补充规定：(1)当时， (2)当时, 性质： (1) (2) (3) (4) (5) 若在上，，则 推论1：若在上，，则. 推论2：. (6 ) 若在上，,则 (7) (定积分中值定理)：若在上连续，则在上至少存在，使. 连续函数在上的平均值， Ⅳ. 积分上限函数及其导数 若对任意，存在，则称为积分上限的函数. 若在上可积，则在上有界. 且积分上限函数在上连续. 设在上连续，则在上可导，且. 设连续，可导，则. 设连续，，可导，则 . Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理) 设在上连续，为在上的一个原函数，则 . Ⅵ. 定积分的换元法 设在上连续，满足： (1) . (2)在(或)上具有连续导数，且的值域不越出的范围，则有. 注：当的值域越出的范围，但满足其余条件时，只要在上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法 设与在上具有连续导数，则有 Ⅷ. 几类特殊的积分公式 设在上连续，则有. 设是以为周期的连续函数，则对任意实数， 有. 设在上连续，则 4. Ⅸ. 反常积分(广义积分) 无穷限的反常积分 设在上连续, 设在上连续, 设在上连续, 若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散. 无界函数的反常积分 设在上连续，点为的瑕点， 设在上连续，点为的瑕点， 设在上除点外连续，点为的瑕点， 若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散. 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散. 反常积分的审敛法 (1) (比较审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数及，使得 ，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散. (2) (极限审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若， (或)则反常积分发散. (3) (比较审敛法2)设在上连续，且. 为的瑕点.若存在常数及，使得，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散. (4) (极限审敛法2) 设在上连续，且. 为的瑕点. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若，(或)则反常积分发散. 重点与难点 积分上限的函数及其导数. 牛顿——莱布尼兹公式. 定积分的换元法和分部积分法. 例题解析 例1 求 分析 由定积分定义知，可见求右端的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式. 解 原式 例2下列解法是否正确 (1). (2).，即 解 这两题的解法都不正确. (1) 被积函数在积分区间内处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式. 代换在上不连续，故在上不可导，不符合换元法的条件. 例3 求下列定积分 (1) (2) (3) (4) 解 注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符