《高等数学》电子课件（自编教材）第五章 第2节 定积分的性质.ppt

* 一、定积分的性质 三、小结 二、应用举例 * 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 一、定积分的性质 * （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 性质3 * 推广：不论 的相对位置如何, 下式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 * 性质4 性质5 * 解 令 于是 * 性质5的推论： 证 （1） * 证 说明： 可积性是显然的. 性质5的推论： （2） * 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 * 解 * 解 * * 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 * 使 即 积分中值公式的几何解释： * 解 由积分中值定理知有 使 * * * （注意估值性质、积分中值定理的应用） 2．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 1．定积分的性质 总 结 * 练习题 * 1、估计定积分 的值 解：先求被积函数 在积分区间 上的最值。 令 得驻点 比较 在驻点和区间端点处的函数值： 可见， 在 上 即 * * （1）当时，； （2）当时，. . ( 为常数). 假设 . . . 则. 如果在区间上， 例1 比较积分值和的大小. 于是 . 则 . 如果在区间上， . 即. ||在区间上的 设及分别是函数 则 . 在区间上的最大值及最小值， 例2 估计积分的值. 例3 估计积分的值. 在上单调下降, 故为最大点，为最小点, 如果函数在闭区间上连续， 则在积分区间上至少存在一个点 ， 使. 在区间上至少存在一个点， . 在区间上至少存在一个点， 使得以区间为 以曲线 底边， 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积。 例4 设可导，且， 求.