《高等数学》电子课件（自编教材）第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法.ppt

* * * 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的换元法 三、小结 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别） 练习题 1、设 求 解: (分部积分) * * 2、计算 解：令 * * 是以? 为周期的函数. 是以? 为周期的周期函数. 3、证明 证： * * 右端 试证 分部积分积分 再次分部积分 = 左端 4、 证： * 一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 * 定理 一、换元公式 * 证 * * 例1. 计算 解: 令 则 且当 时 时 ∴ 原式 = * 例2. 计算 解: 令 则 且当 时 时 ∴ 原式 = * 例３ 计算 解 令 * * 例６ 计算 解 * 例７ 计算 解 原式 * 例８ 计算 解 令 原式 * 证 * * * 奇函数 例11 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 * 证 （1）设 * 设 * * * * * 定积分的分部积分公式 推导 二、分部积分公式 * * 例3 解 * 例4 计算 解 * 例5 设 求 解 * * 例6 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 * 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 * 于是 为正偶数 为大于1的正奇数 * 假设 （1）在上连续； （2）函数在上是单值的且有连续导数； （3）当在区间上变化时，的值在上变化，且、， 则 有. 设是的一个原函数， 是的一个原函数. 例9 当在上连续，且有 ①为偶函数，则 ； ②为奇函数，则. 在中令, ①为偶函数，则 ②为奇函数，则 例12 若在上连续，证明 （1）; 设函数、在区间上具有连续导数，则有. 因为没有初等形式的原函数， 无法直接求出，所以采用分部积分法