《高等数学》电子课件（自编教材）第四章 第2节 第一类换元积分法.ppt

* 第二节 第一类换元法 一、第一类换元公式 二、第一类换元举例 三、总结 * 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、第一类换元法 * 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理 * 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 因此，第一类换元法就是将被积函数中的某一部分当作一个变量u，使积分变为变量u的积分。 定理1 * 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） * 例2 求 解 一般地 * 例3 求 解 * 例4 求 解 * 例5 求 解 * 例6 求 解 * 例7 求 解 * 例8 求 解 * 例9 求 原式 * 例10 求 解 * 例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. * 例12 求 解 * 例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） * 解（二） 类似地可推出 * 解 例14 设 求 . 令 * 例15 求 解 * * * 总 结 * 常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 * * 在 中 1. 若 中至少有一个为奇数，则用公式 例如： 2. 若 均为偶数，则用公式降阶 * * 3、在 或 中 当 为奇数时，可把 凑成 凑成 转化为幂函数的积分。 * 练习与思考题 1、求积分 解答： * * 提示: 法1 原式 法2 原式 法3 原式 2 . 用多种方法求 法4 原式＝ * 3、求 解: 令 得 原式