《高等数学》电子课件（同济第六版）第四章 第2节 换元积分法.ppt

* 例18 求 解 令 * 例19 求 解 令 * 例20 求 解 令 * 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 * 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 说明(2) 例21 求 （三角代换很繁琐） 令 解 * 例22 求 解 令 * 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例23 求 令 解 * 例24 求 解 令 （分母的阶较高） * * 说明(4) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例25 求 解 令 * * 基本积分表 ? * * * * 三、小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(2) * * 思考题 求积分 * 思考题解答 * 练 习 题 * * * * 练习题答案 * * * 期末考试时间:22周星期一(1月26日)上午 期末考试题型:填空20分,选择20分,其他60分 考前答疑安排:教一C300答疑室 21周周一/周三下午七八节 1月24日/ 1月25日 上午8:30-10:30 1月24日/ 1月25日 下午2:30-4:30 本周不交作业,下周再交 * 问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、第一类换元法 * 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理 * 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 因此，第一类换元法就是将被积函数中的某一部分当作一个变量u，使积分变为变量u的积分。 定理1 * 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） * 例2 求 解 一般地 * 例3 求 解 * 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理 * 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 因此，第一类换元法就是将被积函数中的某一部分当作一个变量u，使积分变为变量u的积分。 定理1 * 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） * 例2 求 解 一般地 * 例3 求 解 * 例4 求 解 * 例5 求 解 * 例6 求 解 * 例7 求 解 * 例8 求 解 * 例9 求 原式 * 例10 求 解 * 例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. * 例12 求 解 * 例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） * 解（二） 类似地可推出 * 解 例14 设 求 . 令 * 例15 求 解 * * * 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法 * 证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理2 * 第二类积分换元公式 设具有原函数， 可导， 则有换元公式 设具有原函数， 可导， 则有换元公式 其中是的反函数. 设是单调的、可导的函数， 并且， 又设具有原函数， 说明为的原函数, 填空题： 若而则 _______________； 求时，可作变量代换_______ ______________，然后再求积分； 求时可先令_________； _____； ___； ____； =____； ____； _________________； _______________ . 求下列不定积分：（第一类换元法） 1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、； 9、； 10、； 11、 ； 12、； 13、； 14、. 求下列不定积分：（第二类换元法） 1、； 2、； 3、； 4、； 5、设,求证： , 并求. 一、1、;； 2、或； 3、； 4、； 5、-2；