《高等数学》电子课件（同济第六版）第四章 第1节 不定积分的概念与性质.ppt

* * 例 定义： 一、原函数与不定积分的概念 * 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ * 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） * 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 * 例1 求 解 解 例2 求 * 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 * 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. * 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 * 基本积分表 ? 是常数); 说明： * * * 例4 求积分 解 根据积分公式（2） * * 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 三、 不定积分的性质 * 例7 求积分 解 * 例8 求积分 解 * 例9 求积分 解 * 例10 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. * 解 所求曲线方程为 * * 基本积分表(1) 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 四、 小结 * * 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ * 思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. * 练习题 * * * 练习题答案 * 是的原函数. 是在区间内的原函数. 如果在区间内， 可导函数的 即， 都有 或， 那么函数就称为 导函数为， 或在区间内原函数. 如果函数在区间内连续， 那么在区间内存在可导函数， 使，都有. 都是的原函数. 在区间内， 函数的带有任意 常数项的原函数 称为在区间内的 不定积分，记为. 即是的一个原函数. 函数的原函数的图形称为的积分曲线. （是常数， 例11 已知一曲线在点处的切线斜率为，且此曲线与轴的交点为，求此曲线的方程. 但在处不可微， 填空题： 一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______； 的________称为的不定积分； 把的一个原函数的图形叫做函数的________，它的方程是，这样不定积 在几何上就表示________，它的方程是 ； 由可知，在积分曲线族 上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的； 若在某区间上______，则在该区间上的 原函数一定存在； ______________________； _______________________； _________________； _____________； =____________________ . 求下列不定积分： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 三、一曲线通过点，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 . 四、证明函数的原函数 . 一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数； 3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续； 6、； 7、 8、； 9、、 10、. 二、1、 ； 2、； 3、； ； 5、； 6、. 三、.