高等数学（经济类）第5版课件：不定积分的概念与性质.pptx

二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有

问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数

定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族即

定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作

不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.

例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为

例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻先由此求再由此求

先求由知再求于是所求运动规律为由知故

二、基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)

或或

例3.求解:原式=例4.求解:原式=

三、不定积分的性质推论:若则

例5.求解:原式=

例6.求解:原式=例7.求解:原式=

例8.求解:原式=

内容小结1.不定积分的概念?原函数与不定积分的定义?不定积分的性质?基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质

思考与练习1.证明2.若(P191题4)提示:提示:

3.若是的原函数,则提示:已知

4.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为

5.求下列积分:提示:

6.求不定积分解：

7.已知求A,B.解:等式两边对x求导,得

作业第二节