《高等数学》第4章不定积分教学课件.ppt

4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法进行不定积分的运算时，有时被积函数需要先做适当变形，然后再运用第一换元积分法进行求解．4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法二、第二类换元积分法如果不定积分不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量，并选择代换，其中可导，且连续，将不定积分化为前面的第一类换元积分法是把所求积分先凑成基本积分公式的形式,然后作代换u=φ(x).但有些积分并不能很容易地凑出微分.4-3换元积分法如果容易求得，而的反函数存在且可导，则，，再将代入上面的，回到原积分变量，有这类求不定积分的方法，称为第二类换元法．4-3换元积分法定理4.2（第二类换元积分法）4-3换元积分法1．无理代换4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法4-3换元积分法2．三角代换4-3换元积分法例18求．解设，则，．所以4-3换元积分法．由，所以．于是因此，所求不定积分．4-3换元积分法．例19求．解设，则，．所以为了返回原积分变量，可由作出辅助三角形．4-3换元积分法所以，其中.，第4章不定积分4-1不定积分的概念与性质4-2直接积分法4-3换元积分法4-4分部积分法第4章不定积分4-1不定积分的概念与性质一、原函数和不定积分的概念二、不定积分的性质三、不定积分的几何意义4-1不定积分的概念与性质1.原函数定义4.1设是定义在区间内的已知函数．如果存在函数，使对于任意的，都有或，则称是在上的一个原函数．一、原函数和不定积分的概念4-1不定积分的概念与性质不难看出，，(为任意常数)都是的原函数．例如设函数，．由于函数满足，所以是的一个原函数．由此例可以看出：如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数．4-1不定积分的概念与性质一般，如果是的一个原函数，则的全部原函数就是(为任意常数)．那么一个函数满足什么条件,它的原函数一定存在呢?如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该区间上f(x)的原函数一定存在.4-1不定积分的概念与性质2.不定积分的定义定义4.2函数的全部原函数，称为的不定积分，记作．其中“”称为积分号,称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式．如果是的一个原函数，则（为任意常数）．其中称为积分常数．4-1不定积分的概念与性质4-1不定积分的概念与性质解当时，，所以当时，，所以．．所以．4-1不定积分的概念与性质二、不定积分的性质性质1不定积分与求导数或微分互为逆运算．(2)或．(1)或．性质2被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前．(，常数).4-1不定积分的概念与性质性质3两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和．．一般地，．4-1不定积分的概念与性质三、不定积分的几何意义如果是的一个原函数，则的不定积分．对于每一给定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条积分曲线．由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线．4-1不定积分的概念与性质三、不定积分的几何意义4-1不定积分的概念与性质4