《高等数学》电子课件（同济第六版）第四章 第4节 有理函数的积分.ppt

* * 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例9 求积分 解 令 三、简单无理函数的积分 * * 例10 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. * 例11 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 * 简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 四、小结 * * 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？ * 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式. * 练习题 * * * 练习题答案 * * * * * 有理函数： 一、有理函数的积分 * * （1）分母中若有因式 ，则分解后为 真分式化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 * （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 * * * 例2 * 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例3 * 例4 整理得 * * 例6 求积分 解 * 例7 求积分 解 * 例8 求积分 解 令 * * * 例10. 求 解: 原式 * 二、三角函数有理式的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数 * 问题：如何积分 * 例1. 求 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 故令 原式 * 例2. 求 解: 原式 * 例3. 求 解法 1 . 令 原式 * 例3. 求 解法 2 . 令 原式 * 2、万能代换 * 令 （万能置换公式） * 例4 求积分 解 由万能置换公式 * * 例5 求积分 解（一） * 解（二） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. * * 例8 求积分 解 其中、都是非负整数；及都是实数，并且，. 其中都是常数. 其中都是常数. 填空题： 1、，其____, ________ ,__________； 2、, 其中_____,_____,_______； 3、计算可用万能代换___________, _____________； 4、计算令___,___,____ . 5、有理函数的原函数都是_________ . 二、求下列不定积分： 1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、 ； 7、； 8、 . 三、求下列不定积分（用以前学过的方法）： 1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、； 9、； 10、； 11、； 12、. 二、1、； 2、； 3、 ； 一、1、； 2、-1,；3、； 4、,,； 5、初等函数 . 4、； 5、； 6、； 7、,或 ； 8、. 三、1、 ； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、,或； 7、； 8、； 9、 ； 10、； 11、； 12、