高等数学 第九章 重积分 第二节 二重积分的计算.ppt

一、利用直角坐标计算二重积分 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例3. 计算 例5. 计算 例7. 交换下列积分顺序 例8. 计算 二、利用极坐标计算二重积分 设 例11. 计算 例12. 求球体 内容小结 极坐标系情形: 计算步骤及注意事项 练习 作 业 * * * 直角坐标情形 第九章 重积分 第二节 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算 极坐标情形 在D上连续 由上一节所得算式, 当被积函数 若D可表示为： 则 上页 下页 返回 结束 其中函数 、 在区间 上连续, 时, X – 型区域 . . 则 上页 下页 返回 结束 如果积分区域为： Y –型区域 . . 则 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域（如右图所示）, 则 上页 下页 返回 结束 其中D 是直线 y＝1, x＝2, y＝x 所围的闭区域. 解一 将D看作X–型区域, 则 解二 将D看作Y–型区域, 则 上页 下页 返回 结束 解 上页 下页 返回 结束 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解 将D看作Y–型区域, , 直线 则 上页 下页 返回 结束 解 上页 下页 返回 结束 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解 取D 为X – 型区域 : 先对 x 积分不行, 以上例题表明，积分次序的选取影响积分的难易. 上页 下页 返回 结束 因此 有时为了积分方便, 还需交换积分顺序. 解 积分区域如图 上页 下页 返回 结束 解 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 上页 下页 返回 结束 其中D 由 所围成. 解 令 (如图所示) 显然, 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 积分 在直角坐标系下难以计算. 采用极坐标就简单了. 其中D由直线 y = x、y = - x 和 x = 1 围成. 其中D为圆盘: 上页 下页 返回 结束 直角坐标与极坐标系的关系是: 在极坐标系下, 面积元素 D 则 特别地, 对 上页 下页 返回 结束 若 f ≡1， 则可求得区域 D 的面积 问: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 上页 下页 返回 结束 上册第六章 例 9. 计算 原式 其中D由直线 y = x、y = - x 和 x = 1 围成. 在极坐标系下, 解 被积函数关于 y 为偶函数, 且积分区域关于 x 轴对称, 因此 上页 下页 返回 结束 上册p209 其中D为圆盘: 例 10. 计算 解 在极坐标系下, 其中 解 原式 故 上页 下页 返回 结束 的原函数不是初等函数 , 故例11无法 注 1. 由于 用直角坐标计算. 上页 下页 返回 结束 注 2. 利用例11 可得在概率统计以及工程上非常有 用的反常积分公式： 记 而由例11的结果, 因此， 上页 下页 返回 结束 现在， 即 令R →∞并运用夹逼准则, 得 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解 坐标面将立体分为四个部分， 由对称性可知 上页 下页 返回 结束 二重积分化为累次积分 直角坐标系情形 : 积分区域为X-型： 则 积分区域为Y-型： 则 上页 下页 返回 结束 则 上页 下页 返回 结束 若积分区域为， ? 画出积分区域的草图 ? 选择坐标系 ? 确定积分次序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 上页 下页 返回 结束 设 且 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 上页 下页 返回 结束