第七章 第二节二重积分的计算.ppt

一、问题的提出 * * 第二节 二重积分的计算 一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢? 这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍: 如果积分区域为： ［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、 （1）X-型域 二、利用直角坐标计算二重积分 （2）Y-型域： ［Y－型］ Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、 2、X-型域下二重积分的 计算: 此为平行截面面积为已知的立体的体积： (曲顶柱体的体积) 则 由几何意义，若 y Z 或 3、Y-型域： 于是 或 解： ［X－型］ ［Y－型］ 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限，一定要做到熟练、准确。 4、利用直角坐标系计算二重积分的步骤 （1）画出积分区域的图形，求出边界曲线交点坐标； （3）确定积分限，化为二次定积分； （2）根据积分域类型，确定积分次序； （4）计算两次定积分，即可得出结果. 例2 解： X-型 例3 解： （如图） -1 2 将D看作Y型 5、若区域为组合域，如图则： 0 6、如果积分区域既是X－型， 又是[Y－型], 则有 解： 积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 解： 原式 例6 解： 先去掉绝对值符号，如图 解 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择 积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ 7.小结 * *