高等数学第六章定积分应用第1、2、3节.ppt

在引出定积分的引例中，我们介绍了

计算曲边梯形的面积，变速直线运动的路

程等问题。它们所涉及的思想方法是相同

的。现在我们把这一思路用更简洁的形式

表示出来，以期能用它来解决更多的此类

问题。如求旋转体的体积、平面曲线的弧

长、变力所作的功及水压力等。

回忆求曲边梯形面积的步骤：

y=f(x)≥0，且在[a,b]上连续。

Ai

Aif(i)xi(i=1,2,…,n)

(Ai与f(i)xi仅差高阶无穷小）

n

Af(i)xi

i1

nb

Alimf(i)xif(x)dx

0a

i1

其中，极限固然重要，但定积分形式的形成关键

在于(1),(2),

(1)所求量具有区间可加性是形成定积分的前提。

局部量形成了被积表达式

(2)Aif(i)xi,

的雏形。

为简便起见，现省去下标。

用A表示任一小区间[x,xdx][a,b]

上的小曲边梯形面积，那么小区间长为dx，

把取为左端点x,则Af(x)dx，

且f(x)dxAo(dx)(dx0)

称f(x)dx为所求量A的元素，

y即dAf(x)dx，

y=f(x)

把dA在[a,b]上无限累加，

dAA

bb

AdAf(x)dx.

dxaa

0axx+dxbx

只要求出一小块的面积，其无限的累加

即为所求整个曲边梯形的面积。

把面积A改为一般的所求量I，那么有

bb

dIf(x)dx,IdIf(x)dx.

aa

如长为l的细棒上的线密度ρ(x)连续，那么细棒

的质量：作[x,xdx][0,l]，

这一小段的质量

0xxdxlxdm(x)dx

那么整段细棒的质量为这一小段质量的无限累加。

ll

mdm(x)dx

00

现在利用元素法讨论：

(1)平面图形的面积

(2)旋转体的体积

(3)平行截面面积为的立体体积

(4)平面曲线的弧长

(5)旋转曲面的面积等几何问题。

(1)图形由连续曲线

yf(x),y0,xa,xb所围

(a)f(x)0取任一小区间[x,xdx][a,b]

y以直边近似代替曲边，

y=f(x)

dAf(x)dx

b

AdA

dAAa

b

0axx+dxbxf(x)dx

a

(b)f(x)在[a,b]上有正有负

在[a,c]上，取[x,xdx][a,c],

dA1f(x)dx

在[c,b]上，取[x,xdx][c,b]，

dA2f(x)dx

ycb

y=f(x)AdAdA2