高等数学 第六章 第4、5节 定积分的计算(中央财经大学)高等数学 第六章 第4、5节 定积分的计算(中央财经大学).pdf

—— —— 经济数学————微积分 第六章 定积分及应用 第六章 定积分及应用 定积分的计算 ——定积分的计算 —— 中央财经大学 定积分的计算问题转化为已知函 数的导函数,求原函数的问题 . 求原函数又是不定积分研究的范 畴，原来求不定积分的方法在定 积分的计算过程中仍然好用。 1 2 例 计算 ∫ 0 1− x d x . 令 x= sin t 解 先用不定积分求被积函数的一个原函数： 1 2 2 = (1+cos 2 t) d t 1− x d x= cos td t ∫ ∫ 2 ∫ t sin 2 t 1 1 2 = + +C = arcsin x+ x 1− x +C 2 4 2 2 由牛顿——莱布尼兹公式 ， 得 1 1 2 ⎛1 1 2 ⎞ π 1 −x d x= arcsin x+ x 1− x = . ∫ 0 ⎜2 2 ⎟ 4 ⎝ ⎠ 0 1 0 ≤ x≤1 2 例 计算 ∫ 0 1− x d x . 令 x= sin t π 0 ≤t≤ 2 解 先用不定积分求被积函数的一个原函数： π π 1 1 2 2 1 2 2 2 2 = (1+cos 2 t) d t 1− x d x= cos td t = (1+cos 2 t) d t ∫∫ 1 −x d x= ∫∫