医用高等数学第六章.ppt

所以当水箱的长、宽、高均为 时， 水箱所用的材料最省. 令 根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D 内取得.又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当 时，S取得最小值 * 条件极值 对自变量有附加条件的极值． 无条件极值 对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值． 二、条件极值 条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算. 问题 求目标函数 在约束条件 下的极值. * 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 ．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极值点． 条件极值拉格朗日乘数法 * * 思考题 * 思考题解答 * 解 则 * 锁链式法则如图示 (1) 单链是导数关系,多链是偏导关系; (2) 一条链之间,依次求导相乘; (3) 各条链之间,求导后逐渐相加. 注意 上述运算法则对中间变量或自变量多于或少于两个的情形仍然适用. * 解 * 例2 设 , 求 、 . 解 令 则 * 推论 其中 * 例3 设 ,其中 , 求 、　　. 解 设 ,则 由锁链法则 * 同理 * 即 两者的区别 2. 中间变量既有一元函数又有二元函数的情形 其中 * 例4 设 求 、 . 解 * 全导数 3. 中间变量均为一元函数 为 的一元函数, 对 求导,得 设 可微,且 ,则复合函数 * 例5 设 , 而 ， ,求 . 解 * 解 例6 设 而 求 . 注意上式中 与 的区别! 是全导数,是将z 作 为x 的一元复合函数时的全部变化率;而 是z 对x 的偏 导数,是将z 作为x、y的二元函数时 z 的变化率. * 二、隐函数微分法 1. 一元隐函数的求导方法 设方程 所确定的一元隐函数为 . 若 则有 * 解 令 则 所以 例7 求由方程 所确定的函数 的导数 * ， 由方程 确定的函数 为二元隐函数. 2. 二元隐函数的求导方法 若 则有 * 解 令 则 所以 例8 求由方程 所确定的函数z的偏 导数. * 解 令 则 * 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 问题的提出 第四节 多元函数的极值 * 1、二元函数极值的定义 一、二元函数的极值 * 例1 例2 例3 注: (3) * 2、多元函数取得极值的条件 证 * * 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： * * * 解 * * 求最值的一般方法：