高等数学 第六章 第6节 广义积分与T函数(中央财经大学).pdf

—— —— 经济数学————微积分 第六章 定积分及应用 第六章 定积分及应用 ——广义积分与Γ-函数 —— 中央财经大学 我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 . 函数的积分 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 . 数在无穷区间上的积分 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作. 一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分 1. 无穷积分的概念 设函数 f (x) 在 [a, +∞) 上有定义 . ∀ A∈R , A a , 且 f(x) ∈R( [a, A] ) . 记 +∞ A ∫ a f (x) d x = lim ∫ a f(x) d x , A→+∞ 称之为 f(x) 在 [a, +∞) 上的无穷积分 . 若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值 即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积 分发散 . 类似地可定义： b b (1) ∫ −∞ f(x) d x = lim ∫ B f (x) d x (B b) . B→−∞ +∞ c +∞ (2) ∫ −∞ f(x) d x = ∫ −∞ f(x) d x + ∫ c f(x) d x c A = lim ∫ B f (x) d x+ lim ∫ c f(x) d x . B→−∞ A→−∞ c +∞ +∞ 若 ∫ −∞ f (x) d x 与 ∫ c f(x) d x 同时收敛， 则称 ∫ −∞ f (x) d x 收敛 . c +∞ +∞ 若 ∫ −∞ f (x) d x 与 ∫ c f(x) d x 至少有一个发散, 则 ∫ −∞ f (x) d x 发散 . +∞ 对 ∫ −∞ f (x) d x 而言，由定积分对区间的可加性， 显然其收敛性 与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c = 0 . +∞ 2 −x 例 计算 ∫ 0 x e d x . +∞ 2 A 2 解 ∫ 0 x e−x d x