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前页 结束 后页 2-8 定积分 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 S . 1. 定积分的概念 矩形面积 梯形面积 解决步骤 : 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; (2)近似代替 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 (1) 分割 (3) 求和 (4) 取极限. 则曲边梯形面积 解 (1) 分割 变力做功 在 插入n个分点 设质量为m的物体沿直线运动。假定它所受的力可 以表示为它到初始点的距离s的函数f(s).求物体自s=a 到s=b外力所做的功W. 将闭区间[a,b]分成n个小区间: 小区间的长度 (2)近似代替 在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为 (3) 求和 把各小区间上力f 所做的功的近似值加起来,即得到在区间 上所做功的近似值,即 (4)取极限 令所有小区间的最大长度 时,和式 的极限即为变力在区间 上对物体所做的功,即 定义 各小区间的度为： 并作 和式； （称作积分和或黎曼和）. 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量， b 与a分别叫做积分上限与下限， [a,b]叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积S等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 质点在变力f(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数f(s)在[a,b]上的定积分，即 可以证明:闭区间上的连续函数或单调函数或只有有限个第一类间断点的函数,在该闭区间上可积.(证明略) 可积函数一定有界． 关于定积分的概念，应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有 (2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定： 如果在[a,b]上 ，此时 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的 下方，则定积分 在几何 上表示上述曲边梯形的面积A的相反数. 定积分的几何意义： 如果在[a,b]上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积. a x b a x b 如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和. x y= f (x) a b o y A4 A3 A2 A1 例 利用定义计算定积分 解 将 [0,1] n 等分, 分点为 取 注 [注] 利用 得 两端分别相加, 得 即 性质２ 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即 ２．定积分的性质 设下面函数 f (x) 及 g(x) 在 [a,b] 上可积. 推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积　　　　　　　　　分的代数和，即 性质1 如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b], 则 性质5 性质5 表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分. 当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立. 性质4 被积函数的常数因子可以提到积分号外. 性质3 性质6 性质7 例 前页 结束 后页