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1 第2章 数值积分 1 2 2.1 引言 利用牛顿—莱布尼兹（Newton—Leibniz）公式 (2.1) 解决函数 在 上的积分问题在理论和应用上都有重大的意义。然而，在实际问题中，往往会遇到一些困难。有些形式上较简单的函数，其原函数　 不易求出或不能用初等函数表示成有限形式；有些被积函数的原函数过于复杂；而有些函数的函数值是由实验、观测等方法得出，并没有给出具体的解析表达式。这些情形说明公式(5.1)在应用上是有局限性的，因此研究定积分的数值计算问题就显得十分必要。 本章主要介绍一些常用的数值积分方法，包括梯形积分法、辛卜生积分法、变步长积分法、牛顿—柯特斯积分法、高斯积分法、龙贝格积分法。 2 3 2.2 梯形积分法 2.2.1 梯形积分法的基本思想 梯形积分法的基本思想：在积分区间 上，根据给定的插值条件 和 ，构造一个一次二项式 ，并以 的积分值近似地代替 。从几何角度而言，是以梯形面积近似地代替曲边梯形的面积。 3 图 2.1 4 2.2.2 梯形求积公式 依据梯形积分法的基本思想，将区间 分成 个 相等的小区间,则每个小区间的长度为 ,对每个小区间均实施如下的梯形求积： 将这些小梯形的求积值加起来，可以得到如下梯形求积公式： 4 5 2.2.3 实现梯形积分法的基本步骤 (1) 输入区间 的端点 值以及分割数 ； (2) 将区间 等分成 个小区间，每一个小区间的 长度 ； (3) 计算每一个等分点的函数值 (4) 计算 (5) 输出 的值； (6) 结束。 5 6 例2.1 使用梯形求积公式求下列定积分的值。 6 7 辛卜生积分法的基本思想：在积分区间 上，根据 给定的插值条件　 、 和 ， 构造一个二次插值求积多项式 ，并以 的 积分值近似地代替 。从几何角度而言，是用过 三点的抛物线面积近似地代替积分的曲边面积。 2.3 辛卜生（Simpson）积分法 2.3.1 辛卜生积分法的基本思想 7 图 2.3 8 2.3.2 辛卜生求积公式 依据辛卜生积分法的基本思想，将区间 分成 ( 必须是偶数）个相等的小区间，则每个小区间的长度为 ，在小区间 均实施如下的辛卜生求积： 将这些求积值加起来，可以得到如下辛卜生求积公式： 其中： 为奇数项的函数 值之和。 为偶数项的函数 值之和。 8 9 2.3.3 实现辛卜生积分法的基本步骤 (1)输入区间 的端点的 值以及分割数 ； (2)将区间 等分成 个小区间，每一个小区间的长度 ； (3) 计算每一个等分点的函数值 ； (4) 计算: （计算奇数项的函数值之和） （计算偶数项的函数值之和） (5) 计算 ； (6) 输出 的值； (7) 结束。 9 10 例2.2 使用辛卜生求积公式求下列定积分的值。 10 11 2.4 变步长求积分法 2.4.1 变步长求积分法的基本思想 变步长求积分法是以梯形公式为基础，逐步改变步长，以达到预先所要求的精度。变步长求积分法主要有变步长梯形求积分法和变步长辛卜生求积分法，本节我们将介绍这两种方法。 11 12 2.4.2 变步长梯形求积分法 变步长梯形求积分法的基本过程: （1） 利用梯形公式，将积分区间 等分，即 其中