试验二数值积分.doc

佛山科学技术学院 实 验 报 告 课程名称 数值分析 实验项目 数值积分 专业班级 姓 名 学 号 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日 一、实验目的 1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分的近似值; 2、学会复合梯形、复合Simpson和龙贝格求积分公式的编程与应用。 3、探索二重积分在矩形区域的数值积分方法。 二、实验要求 按照题目要求完成实验内容； 写出相应的Matlab 程序； 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 写出实验报告。 三、实验步骤 1、用不同数值方法计算积分 （1）取不同的步长，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。 （2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。 2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分， 其中积分区域。 求积公式参考代码： 1、复化梯形求积公式 function I=T_quad(x,y) % 复化梯形求积公式，其中 % x --- 向量，被积函数自变量的等距节点 % y --- 向量，被积函数在节点处的函数值 n=length(x); m=length(y); if n~=m error(The lengths of X and Y must be equal); return; end h=(x(n)-x(1))/(n-1); a=[1 2*ones(1,n-2) 1]; I=h/2*sum(a.*y); 2、复化Simpson求积公式 function I=S_quad(x,y) % 复化Simpson求积公式，其中 % x --- 向量，被积函数自变量的等距节点 % y --- 向量，被积函数在节点处的函数值 n=length(x); m=length(y); if n~=m error(The lengths of X and Y must be equal); return; end if rem(n-1,2)~=0 % 如果n-1不能被2整除，则调用复化梯形公式 warning(给出的点数不适用于Simpson公式，调用梯形公式求积分); I=T_quad(x,y); return; end N=(n-1)/2; h=(x(n)-x(1))/N; a=zeros(1,n); %如果等分成N段，且从1开始计算，应该是公式N=(n-1)/2; for k=1:N a(2*k-1)=a(2*k-1)+1; a(2*k)=a(2*k)+4; a(2*k+1)=a(2*k+1)+1; % 如果下标k从1开始计算，则每小段区间的下标应该为1、3、5、7、、、，中间节点 % 的下标分别是2、4、6、、，对应书本P107公式（3.4），它们的系数分别为1，4，1； end I=h/6*sum(a.*y); 3、Romberg 求积公式 function I=R_quad_iter(fun, a, b, ep) % Romberg 求积公式，其中 % fun --- 被积函数，在调用之前需要用inline()函数定义其为内置函数。 % a,b --- 积分区间的端点，要求ab % ep --- 精度要求，省缺为1e-5 % 注意函数feval() 及函数inline()的使用。 % nargin指设定参数的个数 if nargin 4 ep = 1e-5; end; m=1; h=b-a; I=h/2*(feval(fun, a)+feval(fun,b)); T(1,1)=I; while 1 N=2^(m-1); h=h/2; I=I/2; for i=1:N I=I+h*feval(fun,a+(2*i-1)*h); end T(m+1,1)=I; M=2*N; k=1; while M1; T(m+1,k+1)=(4^k*T(m+1,k)-T(m,k))/(4^k-1); M=M/2; k=k+1; end