数值积分第6章.ppt

三、切比雪夫插值多项式 6.1 最优平方逼近 6.2 正交多项式 6.3 最优一致逼近 6.1 最优平方逼近 一、曲线拟合 1. 最小二乘法原理 例2 用最小二乘法求矛盾方程组 的最优近似解。 正规方程组为 解得 即为矛盾方程组的最优近似解。 2. 多项式型经验公式 根据实验数据(x1, y1),(x2 , y2),…,(xN , yN)， 确定x, y间的近似函数关系 称为经验公式。 其中mN-1。 设 将已知的N组实验数据分别代入所设多项式，可得 依据最小二乘法原理，其对应的正规方程组为 可以证明，该正规方程组的系数矩阵行列式不为0，因此该方程组有唯一解。 例3 已知一组实验数据 用最小二乘法求其多项式型经验公式。 xi 2 4 6 8 yi 2 11 28 48 o 2 4 6 8 x y 10 20 30 40 解： 设拟合曲线为 即 解得 所求多项式型经验公式为y=-16.5+7.75x。 检验经验公式的优劣 拟合度： 拟合相对偏差： 拟合绝对偏差： 设经验公式在各结点处的函数值为 “坏点”： 超过允许绝对误差限 超过允许相对误差限 “坏点”处理 或 例3 已知一组实验数据 求其多项式型经验公式。 解：设拟合曲线为 xi 1 2 3 4 5 6 7 yi 5 3 2 1 2 4 7 即 所求经验公式为 多项式型经验公式算法： (1)输入样点(xi , yi) (i=1,2,…,N)，拟合多项式的次数m； (2)求正规方程组的增广矩阵。 i=0,1, …,m ① ② j=0,1,2,…,m (3)用列主元高斯消去法求正规方程组的解ti(i=0,1,2,…,m)。 (4)输出经验公式 (5)误差分析及“坏点”检验。 3. 幂函数、指数函数型经验公式 二、最优平方逼近函数 定义1(离散型) 设在点集 上，已知函数 y=y(x)的值 和一组权系数 。若有广义多项式P(x)，使得 最小，则称 P(x)为函数 y=y(x)在点集X上关于权系数{ }的 最优平方逼近多项式，或数据{ }的最小二乘拟合多项式。 当 时，“关于权系数”常略而不提。 定义2(连续型) 在区间[a,b]上, 函数 y=y(x)连续, 权函数 且只在[a,b] 的有限个点上 。若有广义多项式P(x)，使得 最小，则称P(x)为函数 y=y(x)在区间[a,b]上关于权函数 的最优平方逼近多项式。 当 时，“关于权函数”常略而不提。 定义3 函数 f(x)与g(x) 的内积定义为 (离散型) 或 (连续型) 内积的性质： (4)当f (x)不恒为0时,( f, f )0 定义4 若( f, g)=0, 则称函数 f与g正交。 定义5 6.2 正交多项式 定义6 满足 的函数系 称为正交函数系。当 是代数多项式时, 称为正交多项式。 正交函数系举例： (1)三角函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x, …… 在区间 上正交。 (2)勒让德(Legendre)多项式 在区间[-1,1]上正交。 (3)切比雪夫(chebyshev)多项式 在区间[-1,1]上关于权