第4章 数值积分.ppt

柯特斯系数 Newton-Cotes公式 n xk(n) Ak(n) Rn 1 0 2 ±0.5773503 1 3 ± 0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 ± 0.8611363 0.3478548 ± 0.3399810 0.6521452 5 ± 0.9061799 0.2369269 ± 0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 §6 数值微分 4.4.3 龙贝格求积法算法实现 （1） 龙贝格求积法计算步骤 用梯形公式计算积分近似值 按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半,令区间长度 计算 ③ 按加速公式求加速值 梯形加速公式： 辛卜生加速公式： 龙贝格求积公式： ④ 精度控制；直到相邻两次积分值 （其中ε为允许的误差限）则终止计算并取Rn 作为积分 的近似值，否则将区间再对分，重复 ②，③，④ 的计算，直到满足精度要求为止。 (2) 龙贝格求积法流程图留给读者 (3) 程序实现 例4.16 用龙贝格算法计算定积分 要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过 解:由题意 由于 ，于是有 4.6 高斯（Gauss）型求积公式* 4.6.1 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个例子： （4.13） 的代数精度仅为1。但是,如果对式(4.13)中的系数 和 节点都不加限制，那么就可适当选取 和 ,使所得公式的代数精度 。事实上，若要使求积公式(4.13)对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组 在构造形如 的两点公式时,如果限定求积节点, 那么所得插值求积公式 解之得 代入(4.13)即得 (4.14) 可以验证，所得公式（6.14）是具有3次代数精度的插值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。 同理，对于一般的插值求积公式 （4.15） 只要适当地选取其2n+2个待定参数 xk 和 ,就可使它的代数精度达到2n+1次。 定义4.3 若插值求积公式（4.15）具有2n+1次代数精度，则称之为高斯求积公式，并称相应的求积节点 为高斯点。 可以证明，n+1个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1次的代数精度，这就是我们所要讨论的具有最高代数精度的插值型求积公式。 4.6.2 高斯求积公式的构造与应用 像构造两点高斯求积公式(4.14)一样,对于插值 型求积公式(4.15), 分别取 用代定系数法来确定参数xk和 从而构造n+1个点高斯求积公式。但是，这种做法 要解一个包含2n+2个未知数的非线性方程组，其 计算工作量是相当大的。一个较简单的方法是： 先利用区间?a,b?上的n+1次正交多项式确定高斯点 (2) 然后利用高斯点确定求积系数 为简单起见, 对求积公式(4.15)的求积区间?a,b?转换成?-1,1?的形式，作变换 就可将求积区间?a,b?变换到?-1,1?上，这时 即有 其中 插值求积公式节点一经确定，相应的求积系 数就确定了，因此关键在于确定节点。 定理4.5 节点 是高斯点的充要 条件是：以这些点为零点的多项式 与任意次数不超过n的P(x)均正交 (4.16) 由定理4.5可知,如能