05 数值积分.pdf

§5 数值积分 §5.1 机械求积公式 §5.2 Newton_Cotes公式 §5.3 变步长求积公式及其加速 收敛技巧 §5.4 Gauss公式 1 §5.1 机械求积公式 第1节 引言 第2节 数值积分的基本方法 第3节 代数精度法 第4节 插值求积法 2 第1节 引言 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算: b ∫a f (x )dx F (b ) =−F (a ) 其中F(x)是f (x)的原函数之一，可用不定积分求得 问题: • 被积函数f (x)是用函数表格提供 • f (x)极为复杂，求不出原函数 • 大量函数的原函数不容易或根本无法求出 1 2 1 sinx 4Ir π x 2 −x 2 ⎛ ⎞ 2 H x =− θ dθ e dx ∫ dx ( ) 2 2 ∫0 1 ⎜ ⎟ sin ∫ 0 r −x r 0 x ⎝ ⎠ 只能运用数值积分, 求积分近似值 . 3 第2节 数值积分的基本方法 1 数值积分的基本思想 b f (x )dx 就是在区间[a, b] 内取n+1个点 x ,x ,,xn ∫a 0 1 利用被积函数f (x) 在这 n+1 个点的函数值的 某一种线性组合来近似作为待求定积分的值. b n f (x )dx ≈ A f (x ) ∫a ∑ k k k 0 x Ak 其中, k 称为积分节点， 称为求积系数。 因此，数值积分公式关键在于积分节点 xk 的选取 和积分系数 A k 的决定，其中 A k与被积函数f(x) 无关。 称为机械求积公式。