第4篇数值积分.ppt

数值积分 邹昌文 设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh, k=0,1,…，n，步长 。对于某个子区间 ,利用梯形公式计算积分近似值有 对整个区间[a,b]有 将子区间 再二等份,取其中点 作新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间 ,利用复化梯形公式计算其积分近似值 。 对整个区间[a,b]有 比较 和 有 称为变步长梯形公式 当把积分区间分成n等份，用复化梯形 公式计算积分I的近似值 时，截断误差为 若把区间再分半为2n等份，计算出定积分 的近似值 ，则截断误差为 当 在区间[a,b]上变化不大时,有 所以 可见,当步长二分后误差将减至 ,将 上式移项整理，可得验后误差估计式 上式说明，只要二等份前后两个积分值 和 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使 接近于积分值I。 例：计算 已知对于? = 10?6 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3由 来计算 I 效果是否好些？ 考察 = 3.141592502 = S4 一般有： Romberg 序列 ? Romberg 算法： ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T ? R1 = ) 0 ( 3 T ? S2 = ) 1 ( 1 T ? C1 = ) 0 ( 2 T ? C2 = ) 1 ( 2 T ? S4 = ) 2 ( 1 T ? 理查德森外推法 / Richardson’s extrapolation / 利用低阶公式产生高精度的结果。 设对于某一 h ? 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h) ? I = ?1 h + ?2 h2 + ?3 h3 + … ?i 与 h 无关 现将 h 对分，得： ( ) ( ) ( ) ... ) ( 3 2 3 2 2 2 2 1 2 0 + + + = - h h h h I T a a a Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？ ... 4 3 2 1 1 2 ) ( ) ( 2 3 3 2 2 0 2 0 - - - = - - - h h I h T T h a a 即： 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个例子： 高斯型积分 / Gaussian Quadrature / 在构造形如 的两点公式时,如果限定求积节点, 那么所得插值求积公式 的代数精度仅为1。但是,如果对式(1)中的系数 和 节点都不加限制，那么就可适当选取 和 ,使所得公式的代数精度 。事实上，若要使求积公式(1)对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组 解之得 代入(1)即得 (2) 可以验证，所得公式（2）是具有3次代数精度的插值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。 同理，对于一般的插值求积公式 （3） 只要适当地选取其2n+2个待定参数 xk 和 ,就可使它的代数精度达到2n+1次。 定义 若插值求积公式（3）具有2n+1次代数精度，则称之为高斯求积公式，并称相应的求积节点 为高斯点。 可以证明，n个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1次的代数精度，这就是我们所要讨论的具有最高代数精度的插值型求积公式。 高斯型积分的构造 构造具有2n+1次代数精度的求积公式 将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为G