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第十讲数值积分 第十讲主要知识点 求积公式、代数精度的概念 牛顿－柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式* 各种求积公式的代数精度 引　言 依据微积分基本定理, 只要找到被积函数 的原函数 ， ，便有牛顿-莱伯 公式 由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数， 而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。 数值求积的基本思想 依据积分中值定理， 就是说，底为 而高为 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。 取 内若干个节点 处的高度 ， 通过加权平均的方法生成平均高度 ，这类求积公式称机械求积公式： 式中 称为求积节点， 称为求积系数，亦称伴随节点的权。 定积分的思想 1.求积公式的一般形式 我们知道，定积分是求和式的极限即 。 它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。 矩形公式 矩形公式(续) 插值型求积公式 插值型求积公式(续) 代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供 求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。 如果机械求积公式对 均能准确成 立但对 不准确，则称机械求积公式具有 次 代数精度。 事实上，令求积公式对 准确成立，即得 可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本 质上是个解线性方程组的代数问题。 插值型求积公式的代数精度(续1） 插值型求积公式的代数精度(续2） 插值型求积公式的代数精度(续3） 定理　机械求积公式至少有 次代数精度的充 分必要条件是它是插值型的。 梯形公式 梯形公式(续1） 梯形公式(续2） 梯形公式例题 牛顿－柯特斯公式 设分 为 等份，步长 ，取等分点 构造出的插值型求积公式（其中 ） 称作 阶牛顿－柯特斯公式。 一阶和二阶牛顿－柯特斯公式分别是梯形公式 和辛甫生公式 四阶牛顿－柯特斯公式，也称为柯特斯公式： 几种低阶求积公式的代数精度 阶的牛顿－柯特斯公式至少有 次代数精度， 事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精 度方面会获得 “额外” 的好处，它们分别有3 次和5 次代数精度。 因此，在几种低阶的牛顿－柯特斯公式中，人们 更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫 生公式和柯特斯公式。 几种低阶求积公式的余项 利用线性插值的余项公式以及积分中值定 理，我们可以得到梯形公式的余项： 利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值 定理我们可以得到辛甫生公式的余项： 另外，我们可以得到如下柯特斯公式的分 余项： 复化求积公式 在使用牛顿－柯特斯公式时，通过提高阶的途 径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精 度，一种行之有效的方法是复化求积。 将 分为 等份，步长 ，分点 所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每 个子段 上的积分值 ，然后用 作为积 的 近似值。复化梯形公式有如下形式： 其余项为： 复化求积公式(续1） 把区间［a，b］分割成 n 等分，分点 得到 复化左矩形公式 复化求积公式(续2） 梯形法的递推化 实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往 往很困难，所以我们往往采用变步长的计算方案，即 在步长逐步分半的过程中，反复利用复化求积公式进 行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。 设 表示复化梯形求得的积分值，其下标 是 等分数，由此则有递推公式 其中 梯形法的加速 梯形法的算法简单，但精度低，收敛的