[2018年最新整理]16讲：ch6-1(数值积分).ppt

主要内容： 一、 数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、 插值型的求积公式 四、 牛顿－柯特斯求积公式 五、 代数精度问题 主要内容： 1:数值求积的基本思想 2:数值求积分的一般形式 3:插值型的求积公式 4:牛顿－柯特斯求积公式 5:代数精度问题 第六章 数值微分和数值积分 数值微分和数值积分 数值微分方法 数值积分方法 复化求积方法 龙贝格、高斯求积方法 第1节 基本的数值积分 基本数值积分 主要内容 数值分析面临的问题 一、 数值求积的基本思想 利用函数在有限个结点处的 数值求积的基本思想 函数值去计算的积分! 作为积分 的近似值 二、 数值求积分的一般形式 所有计算积分的近似公式都有共同的形式, 就是用 的某种线性组合 数值积分的一般形式 以所给节点作插值节点, 插值求积公式 三、 插值型的求积公式 此求积公式的截断误差为： 事实上，插值型求积公式的求积系数当节点不等距时很难求得。 插值型的求积公式 四、 牛顿－柯特斯求积公式 称为牛顿-柯特斯公式. 求 积 公 式 梯形公式 求 积 公 式 误 差 估 计 求 积 公 式 误 差 估 计 误 差 估 计 辛普森公式的几何意义： 几 何 意 义 解：由梯形公式 截断误差为： 由辛普森公式 截断误差为： 例1 分别用梯形公式与辛普森公式计算积分 的近似值并估计误差。 例 题 1 如果对于次数不超过m的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度. 不难看出:只要当 分别为 时 求积公式 精确成立 而当 不能成立. 定义 五、 代数精度问题 代数精度问题 例2 判断以下求积公式的代数精确度 解: 左右相等 例 题 2 例 题 2 例 题 2 例3 证明求积公式是L-求积公式，已知: 证明: 所以,所求的求积公式,就是插值型求值求积分公式. 例 题 3 代数精度问题 重要结论 n=偶数时Newton-Cotes 求积公式的代数精确度 定理:2n阶牛顿-科特斯求积公式至少具有2n+1次 代数精确度 重要结论 N=1时的牛-柯公式 余项为: 重要结论 N=2时的牛-柯公式 由前面结论知：二阶的牛—柯公式至少具有二次代数精度。进一步用 进行检验，计算得 重要结论 本 节 小 结