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第11章 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 2.定义 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 3. 性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 如果曲线 L 的方程为 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算曲线积分 例4. 计算 例5. 计算 内容小结 3. 计算 思考与练习 * 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第11章 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 ?上的一个有界函数, 都存在, ?上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 ? 的任意分割 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， ? 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. （k 为常数) ( ? 由 组成) ( l 为曲线弧 ? 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 且 上的连续函数, 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中?为螺旋 的一段弧. 解: 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中?为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 ? 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * *