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第十一章 反常积分 §1 反常积分的概念 (一) 教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法． (二) 教学内容：无穷积分；瑕积分． 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法． (三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限教学要点 —————————————————————————— §1 反常积分概念 一 问题的提出 例1（第二宇宙速度问题） 在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球， 问初速度至少多大？ 解 设地球半径为，火箭质量为 地面重力加速度为，有万有引力定理， 在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 再由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？ 解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情 况下），桶里水位高度为时，水从小 孔里流出的速度为 设在很短一段时间内，桶里水面降低的 高度为，则有下面关系： 由此得 所以流完一桶水所需的时间应为 但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 二 两类反常积分的定义 无穷限反常积分的定义 ， . 无穷限反常积分几何意义 例1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵ 计算积分 . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ; ⑵ . 例3 讨论积分的敛散性 . 二. 瑕积分: （先介绍函数的瑕点） 1. 瑕积分的定义: 以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. 例9 判断积分的敛散性 . 例10 讨论瑕积分的敛散性 , 并讨论积分的敛散性 . 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分; 设, 有 ， 把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果 . 例11 证明瑕积分当时收敛. 证明 , 由例6 , 该积分当时收敛. §2 无穷积分的性质与收敛判别 (一) 教学目的：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则． (二) 教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法． (1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性． (2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题． 举例说明：当收敛时，不一定有，由此使学生对柯西准则有进一步的理解． 一 无穷积分的性质: ⑴ 在区间 上可积 , — Const , 则函数在区 上可积 , 且 . ⑵ 和在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 且 . ⑶ 无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译 ) Th 积分收敛 . ⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法: 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法. ⑴ 比较判敛法: 设在区间 上函数和非负且 ，又对任何, 和在区间 上可积 . 则 , ； , . ( 证 ) 例4 判断积分 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 上函数,. 则 ⅰ , 与 共敛散 : ⅱ , 时, ； ⅲ , 时, . ( 证 ) ⑵ Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下 0 ) 设对任何, , 且, ； 若且, . Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数，且 . 则 ⅰ ； ⅱ . ( 证 ) 例5 讨论以下无穷积分的敛散性 : ⅰ ⅱ ⑶ 其他判敛法: Abel判敛法: 若在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛. Dirichlet判敛法: