[2018年最新整理]1D10-1二重积分概念.ppt

一． 二重积分的概念 二． 二重积分的性质 例1. 比较下列积分的大小: Up Down End Back First Last Index Demand 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、积分区域的表示法 第十章 引例：曲顶柱体的体积 x y z O D z?f(x，y) 设有一立体，它的底是xOy 面上的闭区域D,它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平 行于z 轴的柱面，它的顶是曲 面z?f(x,y)，这里f(x,y)?0且在D 上连续; 这种立体叫做曲顶柱体． 问题: 如何求曲顶柱体的体积？ 仿照定积分中解决曲边梯形面 积的计算我们可以作如下处理： ⑴ 用一组曲线网把D任意 分成n个小区域 ?s 1,?s 2， ··· ，?s n ． 曲顶柱体的体积 z?f(x，y) x y z O D ?si 分别以这些小闭区域的边界 曲线为准线， 作母线平行于 z 轴的柱面，这些柱面把原 来的曲顶柱体分为n 个细曲 顶柱体． ?si (x i ，h i) ⑵ 在每个?s i中任取一点(x i ,h i)， 以f (x i ,h i)为高， f(x i ,h i) ?s i为底作平顶柱体， ?si (x i ，h i) f(x i ,h i) ⑶ 这些平顶柱体体积之和为 其体积为 f (x i ,h i) ?s i (i?1, 2, ··· , n )． ⑵ 在每个?s i中任取一点(x i ,h i)， 以f (x i ,h i)为高， ?s i为底作平顶柱体， z?f(x，y) x y z O D ?si 可以认为是整个曲顶柱体 体积的近似值． ⑶平顶柱体体积之和 问题：曲顶柱体体积的精确值=？ ⑷曲顶柱体体积的精确值为 其中l是n 个小区域的直径中的最大值 上述数学模型抽象后即为二重积分的定义: 设f(x, y)是有界闭区域D 上的有界函数． ⑴将闭区域D任意分成n 个小闭区域 ?s 1, ?s 2 ,··· , ?s n 其中?s i 表示第i 个小区域，也表示它的面积． ⑵在第个?s i上任取一点(x i ,h i)，作乘积 二重积分的定义： ⑷若当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时， 这和的极限总存在, 则称此极限值为f(x, y)在D 上的二重积分， 记作 即 ⑶作和 二重积分各部分名称： 积分号， 被积函数， f (x，y) 被积表达式， f (x，y)ds 积分变量， x，y 积分区域， D 面积元素， ds 若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划 分D ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其 余的小闭区域都是矩形闭区域。 直角坐标系中的面积元素： 设矩形闭区域?s i的边长为?xi 和?yi ，则?s i? ?xi?yi ， 而把二重积分记作 因此在直角坐标系中，有时也把 面积元素ds 记作dxdy， 其中dxdy叫做直角坐标系 中的面积元素． x y z O D ?s i ?xi ?yi 当f(x,y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在 的，即f(x, y)在D 上的二重积分必定存在． 二重积分的存在性： 二重积分的几何意义： 若 f(x, y)?0，f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处 的竖坐标，故二重积分的几何意义就是曲顶柱体 的体积．若f(x, y)0，曲顶柱体就在xOy 面的下方， 二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积， 但二 重积分的值是负的． 我们总假定f(x, y)在闭区域D 上连续，所以f(x, y) 在D 上的二重积分都是存在的． 性质 1 (k 为常数)． 性质 2 D x y z O z?f(x，y) D=D1? D2 性质 3 若D 划分为两个闭区域D 1与D 2， 性质 4 =s (s 为D 的面积)． 则 D1 D2 性质5 如果在D 上，f(x, y)?g(x, y)，则有不等式 特殊地有 性质6 (估值定理)设M、m 分别是f(x, y)在闭区域D 上的最大值和最小值，s 为D 的面积，则有 证：因为 f(x, y)在闭区域D 上连续，故存在m及M 使得 m≤ f(x,y)≤M，故由性质6： 两边同除s 则有 由介值定理知， $ (x, h) ∈ D 使得 性质7 (中值定理) 设f(x, y)在闭区域D 上连续， s 为D 的面积， 则$(x, h)∈D 使得下式成立： =f (x,h)s ． 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在