节反常重积分.doc

第五节 反常重积分 本节将研究无界区域或无界函数的情形.着重就二重积分进行讨论. 一、无界区域上的反常积分 设Γ是曲线，令记号： . 定义1 设D是平面R2中无界区域，它的边界有有限条光滑曲线所组成 , Γ是任一条面积为0的连续有界曲线, Γ将D分割成若干部分, 其中到(0,0) 距离最小的有界部分(或其一)记为D(Γ)(如图), 是D上的函数, 并且在D的任意有界可求面积的子集上可积. 如果 存在, 则称在D上可积, 这个极限称为在D上的反常二重积分. 还是记作: , 即=. 当在无界区域D上可积时, 称收敛. 如果不存在, 我们还用这个记号, 也称为在上的反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散. 其中我们说D(Γ)是Γ从D中割出的有界区域. 显然若和在D上可积，则在D上可积. 定理 12.16 设D是平面R2中无界区域，是D上的函数, ≥0. 是一列分段光滑曲线,如定义中,它们将D分割出有界子区域满足 ,及, 那么收敛的充分必要条件是数列收敛,并且 =. 证明 由定义,必要性是显然的.只要证充分性. 注意到是单调增数列, 当记 时. . 对任意一条分段光滑曲线Γ, 它从D割出的有界可求面积的区域D(Γ),由于条件知,存在N1, 当nN1时, D(Γ) Dn , . 对任意ε0, 存在N20, 当n N2时, . 所以, 对分段光滑曲线Γ, D(Γ)为有界区域. 当时, 从而有极限的定义知, ,所以收敛.并有上面的等式. 例1 求的值. 解 设自然数n , 取Γn : . 所以， 即，原反常积分收敛. 对自然数n, 再取Γ’n : . 那么也有 从而我们可得如下的概率积分: . 定理 12.17 (比较判别法) 设D是平面R2中无界区域，, 是D上的函数, 在D的任何有界可求面积的子区域上可积,并且.那么 (1)当收敛时, 收敛时; (2)当发散时, 发散时. 证明留给读者. 定义12.18 设D是平面R2中无界区域， 在D上的可积函数的充分必要条件是在D上的可积. 证明 充分性 设|f(x,y)| 在D上的可积, 令 显然, ，所以在D上的可积. 故 =-也在D上的可积. 必要性 用反证法. 设 f(x , y) 在D上的可积, 但 |f(x,y)| =+在D上的不可积 , 即和至少有一个不可积.不妨设不可积. 那么对任意正数K, 存在一条曲线Γ , 它从D割出有界的D(Γ)满足: . 一般地,由归纳可得,存在一族分段光滑曲线,它们将D分割出有界子区域满足 ,及, 并且 ,(n=1,2,……), 即 , (n=1,2,……). 因f(x , y) 在D上的可积, f(x , y) 在上的可积. 容易得在上的可积. 其Darboux小和收敛于.所以,当把充分细的分划P: ， 其面积分别是: . 记 , , 有 , (n=1,2,……). 记Pn为的小区域的并, 那么 , (n=1,2,……). 令En为Dn和Pn的并, , (n=1,2,……). 如果En不是一个连通区域，我们可以作几个长条矩形连接各个不相交的区域.使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记为Σn，这些长条矩形的取法,使得 , (n=1,2,……). 显然,n可以充分大, 与f(x , y) 在D上的可积矛盾. 推论 设D是平面R2中无界区域， 是D上的函数, 并且在D的任意有界可求面积的子集上可积., 那么 (1) 当足够大时, (c是常数),如果 α2, 则反常二重积分收敛; (2)当足够大时, (c是常数),如果 α≤2, 则反常二重积分发散. 二、无界函数的反常积分 设D是平面R2中有界可求面积区域， P是的聚点, 是D(可能除P以外)上的函数, 在P的任何邻域内无界(P称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P的任何小区域, 在D - Δ上可积. 设 . 如果存在, 则称在D上可积, 这个极限也称为在D上的反常二重积分. 还是记作:, 即=. 当在D上可积时, 称收敛. 如果不存在, 我们还用这个记号, 也称为在D上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散. 与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应