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二、无界函数的反常积分 第一节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分的概念和计算 第八章 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散 . 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算反常积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算反常积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 设 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 注意: 若瑕点 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 例4. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 讨论反常积分 的收敛性 . 解: 所以反常积分 发散 . 例6. 证明反常积分 证: 当 q = 1 时, 当 q 1 时收敛 ; q≥1 时发散 . 当 q≠1 时 所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 解： 求 的无穷间断点, 故 I 为反常 积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 . 例如 , (2) 当一题同时含两类反常积分时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分. 备用题 试证 , 并求其值 . 解: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束