§3三重积分的概念与计算.ppt
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三重积分在柱坐标系下的计算
一、柱面坐标系
二、典型例题
一、柱面坐标系
M 设x y z 为空间内一点并设点M xOy在 面上的
( , , ) ,
投影P 的极坐标为ρ θ 则这样的三个数z ρ θ M就叫点
,
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三重积分的概念与计算.ppt
作 业 115页 3, 4, 6, 12, 13 三重积分的性质 例2. 例1. 作 业 115页 3, 4, 6, 12, 13 4. 计算 例6. 3. 设?由锥面 计算 圆柱面 半平面 平面 在柱面坐标下 若 从小到大 边界到边界 则有 在投影区域上做极坐标变换 例. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 其中 解: 利用对称性 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 球面 半平面 锥面 在球面坐标系中 从小到大，从边界到边界。 体积元素为 化为三次积分， 求
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一、三重积分的定义 二、三重积分的计算 三、小结 * 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 得 注意 解 解 如图， 解 解 原式 解 如图, 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 （计算时将三重积分化为三次积分） * * * *
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中值定理与导数的应用 二、三重积分的直角坐标计算法 四、三重积分的球面坐标计算法 0 x z y M(r,?,?) r ? ? N y x z 空间任一点 M 还可用 球面坐标． 由图可知直角坐标与 圆锥面； 球 面； 半平面． 且 球面坐标的关系: 可以证明球面坐标系下的体积元素为: 从而在球面坐标系下三重积分可表示为 * 三重积分的概念及其计算法 第四节 复习 二重积分的概念 设函数 f (x,y) 在平面有界闭区域D上有界， 将 D 任意分成 n 个无公共内点的小区域 每个小区域的面积记作 在每个小区域上任意取一点 作和式 如果上述和式的极限存在， 点P
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一、三重积分的定义 二、三重积分的计算 三重积分的性质与二重积分的类似。 特别地， 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 得 是 x、y 的函数。 注意 三重积分化为三次积分的过程： 得到 事实上， 得到 事实上， 得到 事实上， 提示 解
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9.4 三重积分概念和计算1知识讲稿.ppt
三重积分概念与计算(1);一、三重积分的定义:;;x;x;x;注意1:;z =0;6;6;6;3x+y=6;3x+y=6;z = 0;4;0;y2=x;;z = 0;Dxy:;1;z =0;1;解: ;;解; ; ; ;c1;;设空间有界闭区域
，其中 是竖标为 Z的平面截闭区域 得到的平面闭区域。;例7;;投影到yoz面;?;?;例10;三重积分的定义和计算：;解法一;解法二;练习2
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一、三重积分的概念
引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的
物质,密度函数)C,求分布在内的物质的
质量M.
解决方法:类似二重积分解决问题的思想,采用
“大化小,常代变,近似和,求极限”
可得
n
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成考（专升本）高数（二）三重积分的概念、性质及计算.pptx
成考（专升本）高数（二）
三重积分的概念、性质及计算
Catalogue目录三重积分的性质2.1.三重积分的概念三重积分的计算3.
01三重积分的概念
三重积分的基本概念三重积分的几何意义三重积分的物理意义三重积分与二重积分的关系三重积分是二重积分在三维空间中的推广，用于求解空间区域上的积分。
它涉及到对空间区域内的函数进行累加，是一种体积积分。
三重积分可以通过分割区域、近似求和、取极限的过程来定义。三重积分可以表示一个空间立体下的体积。
当被积函数为1时，三重积分的值即为该立体的体积。
函数非均匀分布时，三重积分表示的是加权体积。在物理学中，三重积分可以用来计算质量、电荷等物理量的总和。
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曲线积分与曲面积分 一、三重积分的概念 三、小结 * 二、在直角坐标系下计算三重积分 3.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 三、小结 笨姓留劲咙葵挫博尤修衔巨妆退摧且兑啤敞稀她腥菏趟瓣怕号圃之歉调屿三重积分的概念及直角坐标系下的计算大学数学教学课件 框胸恭办身组所坑眉晾捶鸿帧铲挠诣场逼色氟襄退梨摇违勿谜水去确唉哗三重积分的概念及直角坐标系下的计算大学数学教学课件 盏锑轧悦诚婆撵蕉单诽危灰锦献名珍淋某安宠登妄凹软膛雏语进粘健缚迎三重积分的概念及直角坐标系下的计算大学数学教学课件 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 二、在直角坐标系下计算三重积分 骑煮划耕秩悸
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曲线积分与曲面积分 一、三重积分的概念 三、小结 * 二、在直角坐标系下计算三重积分 3.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 三、小结 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 二、在直角坐标系下计算三重积分 得 注意 解 解 如图， 解 原式 解 如图, 将 投影到 平面得 先对 积分，再求 上二重积分, * *
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三重积分的计算20554.pptx
第三节 三重积分的计算
一、利用直角坐标计算三重积分
1、坐标面投影法
如图，积分区域
特点：
积分方法：
三次积分
叠积分
解题步骤：
例1、
例2、
例3
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第二节 三重积分 一、三重积分的概念 非均匀分布立体的质量 设有空间立体?, 当? 的质量是均匀分布时, 则?的质量M= ? 的体密度× ? 的体积. 若? 的质量不是均匀分布的, 则不能上述方式算质量M . 设空间立体?. 其质量非均匀分布, 体密度 ? (x , y , z)连续, 求? 的质量 M. 引例 (i) 将?分成 n 个小立体 ?1, ?2,…, ?n ,记 取 ?(? i , ?i , ?i)? ? i , 以? (? i , ? i , ?i )作为? i mi ? ? (? i , ?i , ?i) ?V i 的体积, i = 1, 2, …, n.
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例11 .计算积分 3. 设? 由锥面 4. 计算 1. 将 用三次积分表示, 其中? 由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , 2. 设 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 * 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 3、球面坐标系下 三重积分的计算 第六章 2、柱面坐标系下 1、直角坐标系下 复习、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极
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*/12 *高等数学（下） * */29 微积分三① 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 第三节 三重积分 存在, 称为体积元素, 若对?作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 下列 “乘积和式” 极限 记作 定义 设 性质:三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理 在有界闭域?上连续,V为? 的 则存在 使得 体积, 1.利用直角坐标计算三重积分 方法1.投影法(“先一后二”) 方法2
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三重积分的计算11.5.8.ppt
一、直角坐标系下三重积分的计算 例1 例3 2. “先二后一”法(截面法) 注 1o 何时采用“先二后一”法(截面法)? 例4 何时采用柱面坐标？ 例6 例9 例10 备用题 1. 计算 2. 3. 4. 例2 例5 计算 解 x y z O 在xOy面上的投影域为半径为 1 的圆域， 1 x y z O 解 所围成的立体如图， 例7 x y z O 1o 所围成立体?在xoy面上的投影区域D D D2 D1 方法1(求围定顶法） x o y 2o 定顶 方法2(先二后一法） x y z O x y O z Dz 2 8 三、球面坐标系下三重积分的计算 称为