[2018年最新整理]19含参变量的积分.ppt

第十九章 含参变量的积分 §1 含参变量的正常积分 定理19.2 定理19.3 定理19.4 定理19.5 定理19.6 §2 含参变量的广义积分 1.一致收敛 定义19.1 定理19.7(一致收敛的柯西准则) 定理19.8 定理19.9 定理19.10 2 含参变量广义积分的分析性质 定理19.11 定理19.12 定理19.13 §3 欧拉积分 1.Γ函数： 2. B函数 内容小结 含参变量的正常积分的定义及其性质 含参变量广义积分的判别法、性质及其计算 欧拉积分的计算 习题 补充题 作业 P269 1(1),(3);2(1),(4);6(1);9;11 P282 1(1),(4);9(2);12(5);13(1);14(1) P290 1(1),(1) ,(3);2(2) ,(4) 设 在 在[a, b]上一致收敛，则 即 （积分交换次序） 上连续。若含参变量广义积分 设 和 都在 上连续， 在[a, b]上收敛， 在[a, b]上一致收敛， 在[a, b]可导，且 即 交换 x, y结论依然成立 则 （积分号下求导） 若 例4. 求狄利克雷积分 例6. 计算积分 解：令 ，则 例5. 计算积分 解：利用例4. 解：注意到 定理19.14 (迪尼) 设f (x, y)在 连续，非负.若 在 收敛，且作为 y 的 函数在 连续，则 在 是一致收敛的. 定理19.15 设 在 连续且非负 都收敛，且分别在 和 连续， ， ， 中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等. 若 例7. 计算概率积分 含参变量广义积分 它的定义域就是积分的收敛域：易知 （二）性质 在其定义域 内连续且 （一）定义 ： 1.它为无穷限广义积分 2.当 时又是瑕积分 有任意阶连续导数： 函数 (三)递推公式 特别： 为正整数时 可见 函数是阶乘n!的延拓 称 （一）定义：含参变量的广义积分 （二）性质： 1.它的定义域就是积分的收敛域 2.当a 1,b 1时积分是正常积分 3.当a 1或b 1时积分是瑕积分 为B函数，定义域为 a0 , b0 对称性 （ a0 , b0 ) （四）与 函数的关系（狄利克雷公式） (三) 递推公式： （ a0 , b1 ） （ a1 , b0 ） 1.记 .则 2.求 ，其中 解： . 再对 积分 ，得 ， ，得 ． 又 故 ． 3.应用对参数求导法计算积分 （不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）． 解：令 ，则 故， ． * 前面：讨论过函数项级数 用来表示和研究一些 非初等函数（复杂函数）：当把求和看成连续量 求和时就是本章内容。 学习方法：强调与Ch12 对应。 在[a, b] 连续 定理19.1 在 上连续，则 若 等价于： 而 即积分运算与极限运算可以交换次序 。 例 求： （积分下求导数） 设 和 在 上连续， 则 在 有连续的导函数，且 即 例1. 求： 其中 解：对任意 存在b使得 ，于是 都在 连续，由定理19.2得 当 时 令 则(万能公式） 因此 积分得 又由 及 的连续性，得： 因此 1） 函数 的范围 满足Th19.2的条件 3） 积分求出 ，确立常数 2） 求出 最后求得： 方法步骤： 例2. 计算定积分 这个积分并不带参变量，但如果直接求，很难积出来， 我们将通过积分求导数，再求出 I=I(1)，记 为此，引入参变量，考虑含参变量积分 解： 将参数加在这里是因为如果将参数加在其他地方都会变得更加的复杂而不能解决问题，所以把它加在x这里 则 它们都在 上连续，根据定理19.2，有 注意到 I(0)=0，故 从而 1） 引入参变量，考察含参变量积分 验证 在 [0,1]×[0,1] 3）求 2）求出 上满足Th19.2。 方法步骤： 设函数f (x, y) 在矩形区域 上连续， 则 （1） 在 连续； 在 连续，则 在 有连续偏导数。 （2）若 对各变元 定理19.4：设函数 f (x, y) 在 c (x)，d (x)都在[a, b]上连续，并且 有 上连续， 当 则 在[a, b]连续。 设函数 f (x, y)， 都在 上连续，又 和 在[a, b]存在，且当 时，有