含参变量无穷积分的致收敛性.doc

含参变量无穷积分的一致收敛性 论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯? 判别法、狄利克雷判别法等)及其性质. 关键词：含参变量无穷积分? 一致收敛? 判别法 无穷积分与级数的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上是平行的，不难想到，含参变量无穷积分与函数级数之间亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解. 1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法 我们很自然的可以想到运用定义来证明. 定义 设区间,无穷积分收敛,若,(通用),,有||=||,则称无穷积分在区间一致收敛. 用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与有关的共同的，方法常常是采取适当放大的方法. 例 1证明：无穷积分在区间[，+]（0）一致收敛，而在（0，+）上非一致收敛. 证明 ， 对解不等式，有,取，则，有，因此，在（0，+）是收敛的，但不能断定是一致收敛的，因为我们所找到的不仅跟有关，而且与有关. 事实上，在是非一致收敛的，只需取， 取，则，但在一致收敛（其中），由不等式： ,有,解不等式,有,于是取，时，对一切,有，所以， 在（其中）一致收敛. 此题中，我们还可以计算出在上的收敛值.事实上，对任意，都有， 所以,， 即在（0，+）收敛于1. 定理 1（柯西一致收敛准则）无穷积分在区间一致收敛 与 . 定理 2（魏尔斯特拉斯 M判别法）若，有 , 且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛. 该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法，但这种方法有一定 的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理2来判别。对于这种情况，我介绍如下定理： 定理 3 若函数在 区间连续，且在有界，即 有 ,则当时，无穷积分. 在区间一致收敛. 例 2 证明：无穷积分在区间[一致收敛。 证明 只需注意：令, 有. 类似于魏尔斯特拉斯 M判别法有如下定理： 定理 4设在区间一致收敛，有存在,使当与时，恒有成立，且当时，对任意均关于在上可积，则关于时在一致收敛且绝对收敛. 例 3 设又存在，使当时，恒有 成立，且当时，对任意均关于在上可积，试证在区间上一致收敛且绝对收敛. 证明 只需注意此时收敛即可. 关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理： 定理 5含参量无穷积分在区间上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数在区间上一致收敛. 在知道无穷积分关于在区间上的收敛值时，可应用下述定理： 定理 6关于在区间上一致收敛于的充要条件是. 例 4 判断关于在上和内的一致收敛性. 解 显然关于在内收敛于. ==， 而 ==. 由定理6，得关于在上一致收敛于，在内非一致收敛. 定理 7关于在区间上一致收敛于的充要条件是：对任意，都有. 例 5 试证关于在内非一致收敛. 证明 显然关于在内收敛于. 取则但是 由定理7, 关于在内非一致收敛. 与函数项级数相应的判别法相仿，有 定理 8 （狄利克雷判别法）设 （ⅰ）对一切实数，含参变量无穷积分 对参变量在上一致有界，即存在正数，对一切及一切，都有 ； （ⅱ）对每一个，函数关于是单调递减且当时，对参变量，一致地收敛于0, 则含参变量无穷积分 在上一致收敛. 定理 9 （阿贝尔判别法）设 （ⅰ）在上一致收敛; （ⅱ）对每一个，函数为的单调函数，且对参变量，在上一致有界, 则含参变量无穷积分 在上一致收敛. 例 6 证明含参变量无穷积分在上一致收敛. 证明 由于无穷积分收敛，（当然，对于参变量，它在一致收敛），函数对每一个单调，且对任何，，都有