[2018年最新整理]11-2二重积分的计算.ppt

§2 二重积分的计算方法 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的变量代换法 Dr? : o A (ii) 如果区域D包含了极点，且边界如下图 如果 二重积分化为二次积分的公式—r型区域 解 解 解 解 例8 求位于圆r=a以外及圆r = 2acos?以内的平面部分的面积 A. 解: 联立方程组 得两圆的交点 x o M D N 设所求平面部分为D： 所求面积 说明：极坐标下的区域面积求法 解 解 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. 一、利用直角坐标系计算二重积分 1、X－型区域和Y－型区域 （1）X－型区域：穿过D内部且垂直于x轴的直线  与D的边界的交点不多于两个 如果积分区域为： （2）Y－型区域：穿过D内部且垂直于y轴的直线  与D的边界的交点不多于两个 其中函数 、 在区间 上连续. （3）当D既是x－型区域：a?x?b, ?1(x) ? y? ?2(x) 又是 y－型区域：c?y?d, ?1(y) ? x? ?2(y) x o y y=?2(x) y=?1(x) a x b y d c x= ?2(y) x= ?1(y) （4） 任意区域 当D是任意区域时，用直线将D先分割为x－型区域和y－型区域，D1, D2, … Dn，再利用积分在区域上的可加性 x o y D1 D2 D3 x o y D1 D2 D3 D4 y x z o 2. 计算公式的推导(形式推导) （1） 设f (x, y)?0, D为x–型区域 从几何意义考虑，求曲顶柱体体积 用平面x = x0截曲顶柱体，得一截面 x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) 此截面面积为A(xo)，则将之投影到yoz平面上， 曲边梯形由y = ?1 (xo), y=?2(xo), z = 0, z = f (xo, y) 围成， 故 故体积为 记为 所以，二重积分的计算公式为(f (x, y) 任意符号) (1) （2） 同理，对y–型区域D：c? y ? d, ?1(y) ? x ? ? 2(y) (2) （3）区域是混合型的，则有 (3) （4）当D是任意区域时，用直线将D先分割为x－型 区域和y－型区域，D1, D2, … Dn，再利用积分 在区域上的可加性，得： (4) 例1. 计算 ，其中D是由直线y=1, x=2 及 y = x 所围成的区域. 解法1:　如图，D可表示为x型区域： 于是，由公式可得 x 0 y 1 D 2 1 y=x 解法2: 由图，区域D可表示为y型区域： 于是，由公式可得 例2. 计算 , 其中D是由抛物线y2=x与直线 y = x – 2所围成的区域。 解:　联立方程组 解此方程组得D的两条边界线的交点为A(1, –1), B(4, 2). 0 x y A(1, ? 1) B(4, 2) y2 = x y=x–2 由图可知，应将D视为y型区域，选择先对 x后对y的积分顺序. 由公式可得 此题若选择先对y后对x的积分顺序，则必须对D进行划分. 则 用x=1将D分成两个区域D1和D2： 练习 求由曲线 所围成的平面图形的面积A. 解: 由 故所求面积为图中的阴影部分D. x 0 y 2 y=2x 交点为(2, 4), (3, 2), (5, 10). 从而 联立方程组，求交点： 故所求面积 （1）当先对x或y积分难易程度相当时， 原则：根据积分区域D图形来选择； 3. 讨论积分次序的选择 （2）当先对x或y积分难易差别较大时，尤其是 对某个变量积分无法积分时，选择积分 简单的公式 （3）交换积分次序的运算 解 可见在将二重积分转化成累次积分时,积分 次序的选择非常重要,不仅考虑积分区域的形状, 还要考虑被积函数的特点.这样才能使二重积分 的计算简便有效. 例4 交换下列积分的积分顺序： 解: 由积分可知，积分区域D为 它是由直线 y = 0, y = 1及曲线 x 0 y y = 1 1 D2 D3 D1 解方程组得交点： 联立方程组 利用直线 将区域D分成D1，D2 和D3三个部分： 于是 解 积分区域如图 解 原式 例4 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体