[2018年最新整理]13重积分——直角坐标系下二重积分的计算.ppt

第二讲 直角坐标系下二重积分的计算 内容提要 直角坐标系下二重积分的计算 教学要求 理解和熟练掌握二重积分的计算。 预备知识： (1) 曲顶柱体体积： (2)在直角坐标下， x 二重积分 (3)平行截面面积为已知的立体的体积 如果积分区域为 （1）X－型区域 1.对积分区域的讨论： X-型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 1.直角坐标系下二重积分的计算 如果积分区域为 （2）Y－型区域 Y-型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 可以用平行于坐标轴的直线 (3) 一般区域： 把 D 分解成有限个 x--型区域或 y--型区域 2.二重积分的计算公式： 通常写成： 如果积分区域为 [y--型]： 类似的有： 通常写成： 计算二重积分需要注意以下几点： (1)在计算二重积分时，首先根据已知条件确定 积分区域 D 是 x-型还是 y-型区域，由此确定将 二重积分化为先y后x的二次积分还是先x后y 的二次积分。 (2)当积分区域 D 既是x-型区域，又是y-型 区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积 分顺序： 先y后x 先x后y (3)如果用平行于坐标轴的直线与积分区域 D 的 则必须分割区域 D 根据二重积分的性质 交线多于两个交点， 如图。 解法一：D 为 X--型区域 二重积分化为先 y 后 x 的二次积分 解法二：D 为 Y--型区域 二重积分化为先 x 后 y 的二次积分 解 将 D 化为 X--型区域 将 D 化为 Y--型区域 D 为 X--型区域 解：画出积分区域 D 的图形. 求出各个交点，如图 将 D 化为 X--型区域 将 D 化为 Y--型区域 这样计算量 就比 X--型区域的计算量大的多 因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。 D 为 y-型区域 解 将 D 化为 X--型区域 无法用初等函数表示, 无法积分. 将 D 化为 Y--型区域 * * * *