二重积分的计算-上.ppt

*/26 微积分九② Calculation of double integral 微 积 分 电 子 教 案 三、二重积分的应用 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 ［X－型］区域D： 积分区域表示法： ［Y－型］区域D： 截面（曲边梯形）的面积 用区间[a，b]内任一点x处的截面面积： 1、积分区域为［X－型］： 1.2、直角坐标系下二重积分的计算公式 区间[x，x+dx]上对应的体积微元： 整个曲顶柱体的体积： X—型区域对应的二重积分计算公式。 二重积分的计算可以通过计算两次定积分来完成：在先进行的定积分 中，y是积分变量，而x是作为常数对待，计算的结果一般是x的函数；然后以第一次积分的结果作为被积函数，在区间[a，b]上进行第二次积分。 二重积分化成“二次积分”或“累次积分”。 X—型区域对应的二重积分计算公式通常记为： 2、积分区域为［Y－型］： 类似可得Y—型区域的二重积分计算公式： X—型区域对应的二重积分计算公式为： Y—型区域对应的二重积分计算公式为： 计算二重积分要先: 定区域类型, 定积分次序, 定上下限. 例1 化二重积分 其中D是由x =0、 y =1及y =x围成的平面区域。 解： (1)将D表示为 X型区域: 为两种次序的二次积分 (2)将D表示为 Y型区域: ★ 例2 解： 交换积分次序后 又例 解： 交换积分次序 例3 解： D是由 y =x2及y = x 围成,分别对 例3 解： D是由 y =x2及y = x 围成,分别对 解： 例4 D由y = x、 y = 1/x及x =2围成. 解：如图 练习: D由x =1, x =2,y = 0, y = 1围成. 矩形区域 例5 证明：若积分区域D为矩形区域，且被积函数可以分离为x与y两个单一变量函数的乘积，即 f(x,y)=f 1(x)·f2(y),则有： a b c d o x y D 证明： 例如 已知 ,则 解： ★例6 设D由y = x, y = 1及x =0围成,