2019届高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题学案 理 北师大版.doc

高考专题突破二　高考中的三角函数与平面向量问题 【考点自测】 1．(2016·全国Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) 答案　B解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B. 2．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，可知BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝－3， 所以cos A＝－. 3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 答案　D 解析　将△ABC的各边均赋予向量， 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝－6 ＝42－6＝10. 4．(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ . 答案　 解析　在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝. 5.若函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M，N分别是这段图像的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A＝ . 答案　π 解析　由题意知M，N， 又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π. 题型一　三角函数的图像和性质 例1 (2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的递增区间； (2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值． 解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2sin2x－(1－2sin xcos x) ＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－cos 2x＋－1 ＝2sin＋－1. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以f(x)的递增区间是(k∈Z). (2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1， 把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y＝2sin＋－1的图像， 再把得到的图像向左平移个单位长度， 得到y＝2sin x＋－1的图像， 即g(x)＝2sin x＋－1. 所以g＝2sin ＋－1＝. 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图像求解． 跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求： (1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)的单调区间； (3)函数f(x)图像的对称轴和对称中心． 解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝5＝5sin， 所以函数的最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)， 所以函数f(x)的递增区间为 (k∈Z)． 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的递减区间为 (k∈Z)． (3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)． 题型二　解三角形 例2 (2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b. 解　(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)或cos B＝.故cos B＝. (2)由cos B＝，得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，则ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6， 得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1