高考数学（北师大版理）一轮复习第五章平面向量第3节.doc

第3节平面向量的数量积及其应用

最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

知识梳理

1.平面向量的数量积

(1)向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a和b，如右图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角.

②当θ＝0°时，a与b共线同向.

当θ＝180°时，a与b共线反向.

当θ＝90°时，a与b互相垂直.

(2)向量的数量积

定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos_θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos_θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos_θ的乘积.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).

(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).

3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

[常用结论与微点提醒]

1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b0且a，b不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()

(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()

解析(1)两个向量夹角的范围是[0，π].

(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()

A.13＋6eq\r(2) B.2eq\r(5)

C.eq\r(30) D.eq\r(34)

解析依题意得a2＝2，a·b＝eq\r(2)×2×cos45°＝2，|3a＋b|＝eq\r(（3a＋b）2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(18＋12＋4)＝eq\r(34)，选D.

答案D

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

解析由题意得a＋b＝(m－1，3)，

因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.

答案7

4.(教材例题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.

解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

|b|cosθ＝