2019届高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算学案 理 北师大版.doc

§5.1　平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现. 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于单位1的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量(共线向量) 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (3)交换律：a＋b＝b＋a； (4)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (6)|λa|＝|λ||a|； (7)当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (8)λ(μa)＝(λμ)a； (9)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (10)λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 知识拓展 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　) (4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　) 题组二　教材改编 2．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝______，＝________.(用a，b表示) 答案　b－a　－a－b 解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 3．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________． 答案　矩形 解析　如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形． 题组三　易错自纠 4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 答案　 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝. 6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案　 解析　＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝－＋， ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 题型一　平面向量的概念 1．给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 答案　A 解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共线的四点