江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算教师用书文.doc

5.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 当λ0时，λa与a方向相同；当λ0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 对于两个向量a(a≠0)，b，如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 【知识拓展】 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.(　×　) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.(　√　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　) (4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　×　) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　√　) 1.给出下列命题： ①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是________. 答案　① 解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误. 2.(教材改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______________. 答案　－＋ 解析　如图， ＝＋＝＋＝－＋. 3.(教材改编)若2(y－a)－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 答案　a－b＋c 解析　由2(y－a)－(c＋b－3y)＋b＝0， 得2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， 所以y＝a－b＋c. 4.(教材改编)已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题： ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b； ④若ma＝na(a≠0)，则m＝n. 其中正确的命题是________. 答案　①②④ 解析　若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确. 5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝______. 答案　 解析　由＝2， 得＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 结合＝＋λ，知λ＝. 题型一　平面向量的概念 例1　给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________. 答案　②③ 解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则∥且||＝||，∴＝. ③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华　向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，