2019届高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积学案 理 北师大版.doc

§5.3　平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题. 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b 射影 |a|cos θ叫作向量a在b方向上的射影，|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影 几何意义 a·b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积 3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0. (4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝ . 知识拓展 1．两个向量a，b的夹角为锐角a·b0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角a·b0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．(　√　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　) (5)两个向量的夹角的范围是.(　×　) (6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．(　×　) 题组二　教材改编 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________. 答案　12 解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 3．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________． 答案　－2 解析　由数量积的定义知，b在a方向上的射影为 |b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 题组三　易错自纠 4．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积为________． 答案　 解析　a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－， 所以a·b＝－1×＋2×1＝. 5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的射影为________． 答案　 解析　＝(2,1)，＝(5,5)， 由定义知，在方向上的射影为 ＝＝. 6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________. 答案　－ 解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－， ∴a·b＋b·c＋a·c＝－.  题型一　平面向量数量积的运算 1．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　) A．2