2019届高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例学案 理 北师大版.doc

§5.4　平面向量应用举例 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题. 1．向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 2．向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体． 3．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 4．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 知识拓展 1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0. 2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　) (2)在△ABC中，若·0，则△ABC为钝角三角形．(　×　) (3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．(　√　) (4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为.(　√　) (5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.(　√　) (6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　) 题组二　教材改编 2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)， ∴||＝＝2，||＝＝4， ||＝＝6， ∴||2＋||2＝||2， ∴△ABC为直角三角形． 3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为________三角形． 答案　等腰 解析　∵－＝＝－， ＋－2＝(－)＋(－)＝＋， 由已知(－)·(＋－2)＝0， 得(－)·(＋)＝0， 即(－)⊥(＋)． ∴△ABC为等腰三角形． 题组三　易错自纠 4．在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________． 答案　－或或 解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0， 解得k＝－； ②若B＝90°，则有·＝0， 因为＝－＝(－1，k－3)， 所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝； ③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k(k－3)＝0， 解得k＝. 综上所述，k＝－或或. 5．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________． 答案　5 解析　依题意得·＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以⊥，所以四边形ABCD的面积为 ||·||＝××＝5. 6．抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________________． 答案　(1,2)或(1，－2) 解析　设抛物线M的方程为y2＝2px(p0)，则其准线方程为x＝－. 曲线E的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝16， 则有3＋＝4，解得p＝2，所以抛物线M的方程为y