高考总复习数学38 第五章第一节平面向量的概念与线性运算.docx
第一节平面向量的概念与线性运算
考试要求：1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
自查自测
知识点一向量的有关概念
判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关．(√)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)
(4)任意向量与零向量都共线．(√)
核心回扣
1．向量：既有大小又有方向，向量的大小称为向量的长度(或模)．
2．零向量：长度为0的向量，记作0．
3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
自查自测
知识点二平面向量的线性运算
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(×)
(2)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线．(×)
(3)|a|＋|b|＞|a＋b|.(×)
(4)若λa＝0，则a＝0.(×)
2．(教材改编题)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝______．(用a
b－a－a－b解析：如图，DC＝AB＝OB－OA
3．(教材改编题)点C在线段AB上，且ACCB＝52，则AC＝52
核心回扣
1．线性运算法则
类型
法则
加法
减法
数乘
大小：|λa|＝|λ||a|；
方向：λ()0时，λa的方向与a的方向相同(反)
2．运算律
a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．
自查自测
知识点三平面向量共线定理
已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．
－13解析：由题意知，存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]
所以λ＝－
核心回扣
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【常用结论】
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝
(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则
①GA+GB+
②AG＝
③GD＝12
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB+
(4)OA＝λOB+μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是
(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．
应用1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA+OB+OC
A．OM B．2OM
C．3OM D．4OM
D解析：如图．
在△OAC中，M为AC的中点，所以OA+
在△OBD中，M为BD的中点，所以OB+
所以OA+
应用2在△ABC中，点D满足BD＝2DC，E为AD上一点，且BE＝mBA+nBC，m＋
32解析：因为BD＝2DC
因为A，E，D三点共线，所以m＋32n＝1，所以λ＝3
平面向量的有关概念
1．(多选题)下列说法中正确的是()
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关
D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
CD解析：对于A，当单位向量方向不同时并不相等，A错误；
对于B，0的相反向量为0，B错误；
对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；
对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．
2．(2024·福州模拟)如图，在正三角形ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和FC相等的是()
A．EF B．FB
C．DF D．ED
D解析：因为EF，FB，DF与FC
因为ED与FC方向相同，长度相等，所以
3．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，使aa＝bb
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C解析：因为向量aa的方向与向量a相同，向量bb的方向与向量b相同，且aa＝bb，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项
当a＝2b时，aa＝2b2b＝bb，故“a＝
向量有关概念的注意点
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，