第2届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）.docx

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第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷

（非数学类，2011年3月）

考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.

题号

一

二

三

四

五

六

七

总分

满分

15

10

15

17

16

12

15

100

得分

注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其他纸上一律无效.

2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

3、如当题空白不够，可写在当页的背面，并标明题号.

得分评阅人一、（本题共3小题,每小题各5分,共15

得分

评阅人

(1)

二、（本题10分）求方程(2x+y?4)dx+

二、（本题10分）求方程

(2x+y?4)dx+(x+y?1)dy=0的通解.

三、（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内有二阶连

得分

评阅人

得分

评阅人

续导数,且f(0),f′(0),f′′(0)均不为零.证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3,使得

得分评阅人四设=1,其中abc0

得分

评阅人

2

Σ2:z2=x2+y2,Γ为Σ1和Σ2的交线.求椭球面Σ1在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.

得分评阅人五、（本题16分）已知S是空间曲线y2=1绕y

得分

评阅人

形成的椭球面的上半部分（z≥0）（取上侧）,Π是S在P(x,y,z)点处的切平面,ρ(x,y,z)是原点到切平面Π的距离,λ,μ,ν表示S的正法向的方向余弦.

六、（本题12

六、（本题12分）设f(x)是在(?∞,+∞)内的可微函数,且

得分

评阅人

|f′(x)|mf(x),其中0m1.任取实数a0,定义

an=lnf,n=1,2,….证明：绝对收敛.

得分

评阅人

说明理由.

七、（本题15分）是否存在区间[0,2]上的连续可微函数

,满足f=1,|f′|≤1,≤1？请