第6届全国大学生数学竞赛决赛答案（非数学类）.docx

第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

(非数学类,2015年3月)

1）极限的值是———。答案0

(2）设实数a≠0，微分方程的解是———。

答案：解：记p=y，则p-ap2=0，就是=adx，从而=ax+c1，由p故有

,。再得c2=1，故y=-

,则A50=————。答案：

,则B2为零矩阵，故

（4）不定积分dx是————。

(1,0),(01)(1,0)(0,-1)（5）设曲线积分，其中L是以，，

(1,0),(01)(1,0)(0,-1)

形的边界曲线，方向为逆时针，则I=———。答案:4

解：曲线L的方程为|x|+|y|=1，记该曲线所围区域为D。由格林公式

（6）设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域,其面积为A0,函数f(x,y)在该区

域及其边界上连续,函数f(x,y)在D上连续且0.记Jn=,

求极限limJn.

n→+∞

答案：

解则1/t=

则有

则有。......................................................

二(本题满分12分)设l,j=1,2,…,n是平面上点P0处的n≥2个方向向量,相邻两个向

量之间的夹角为若函数f(x,y)在点P0有连续偏导，证明

证:不妨设为单位向量，且设

因此▽f=0.........

三设A1,A2,B1,B2均为n阶方阵，其中A2,B2可逆。证明：存在可逆阵P,Q使

PAiQ=Bi(i=1,2)成立的充要条件是A1A2-1和B1B2-1相似。

证若存在可逆阵P,Q使PAiQ=Bi(i=1,2)，则B2-1=Q-1A2-1P-1，所以

B1B2-1=PA1A2-1P-1，故A1A-12和B1B-12相似。...........(6分)

反之，若A1A-12和B1B-12相似，则存在可逆阵C，使C-1A1A2-1C=B1B2-1。于是

C-1A1A2-1CB2=B1。令P=C-1，Q=A2-1CB2，则P,Q可逆，且满足

PAiQ=Bi(i=1,2)...............................................(14分)

四设p0，x1=，x+1=x+xp(n=1,2,…)，证明收敛并求其和。

【解】记yn=x，由题设，yn+1=yn+y，yn+1-yn=y≥0，所以

yn+1≥yn。.............(2分)

设yn收敛，即有上界，记A=lip0。从而A=A+A2，所以A=0，矛盾。

故yn→+∞。....................(8分)

由yn+1=yn，即得

→=4p。........................

五（1）展[-π,π)上的函数f(x)=|x|成傅里叶级数,并证明.

（2）求积分du的值.

解(1)f(x)为偶函数,其傅里叶级数是余弦级数.

由于

由于f(x)连续,所以当x∈[-π,π)有

令x=0得到.记s1=,则s1-s2=故

得...................................................(5分)

记g，则在上成立

记该级数的前

记该级数的前n项和为Sn(u)，余项为rn(u)=g(u)-Sn(u).则由交错（单调）级数的性质

rn(u）≤ue-(n+1)u.

因为就有|du≤这样就有

du................

由于du=0,故

所以s1=s1.再由所证得